¿Está todo primo contenido en el conjunto $\,\{n\in\mathbb{N}:n|10^k-1\}\cup\{2,5\}\,$ para $k=1,2,3,...$ ?

Question

I $\,\{n\in\mathbb{N}:n|10^k-1\}\cup\{2,5\}\,$ para $k=1,2,3,...$ ?

Sea $p\notin\{2,5\}$ sea un número primo. Entonces $\frac{1}{p}$ tiene un período decimal de longitud máxima $p-1$ . Denotemos $\frac{1}{p}$ por $$\frac{1}{p}=0.\overline{d_1d_2...d_r}$$ donde $1\leq r \lt p$ y $d_i\in\{0,1,2,...,9\}$ .

Sea $d=0.d_1d_2...d_r\cdot10^r\;$ (por ejemplo, si $p=7$ entonces $\frac{1}{7}=0.\overline{142857}$ , $r=6$ y $d=142857$ ).

Consideremos $\frac{1}{10^m-1}$ para algunos $m\in\mathbb{N}$ : $$ \frac{1}{10^m-1}=\frac{1}{\underbrace{99...9}_{\text{$ m $ times}}}=0.\overline{\underbrace{00...0}_{m-1 \\ \text{times}}1}=\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{10^{i\cdot m}} $$

Así que \begin{align} \frac{1}{p}&=0.\overline{d_1d_2...d_r}=d\cdot \left(\frac{1}{10^r}\right)+d\cdot \left(\frac{1}{10^{2r}}\right)+d\cdot \left(\frac{1}{10^{3r}}\right)+\cdots \\ &=d\cdot\left(\frac{1}{10^r}+\frac{1}{10^{2r}}+\frac{1}{10^{3r}}+\cdots\right) \\ &=d\cdot\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{10^{i\cdot r}} \\ &=\frac{d}{10^r-1} \end{align}

Reordenando los términos, tenemos $\,10^r-1=p\cdot d \, \Longrightarrow \, p|10^r-1$ .

¿Prueba esto que el conjunto de los primos está contenido en el conjunto $\{n\in\mathbb{N}:n|10^k-1\}\cup\{2,5\}$ ?

Claramente, $2$ y $5$ faltan en $\{n\in\mathbb{N}:n|10^k-1\}$ . ¿Existen otros primos que no estén contenidos en este conjunto?

Answer 1

Un número primo $p$ divide $10^k-1$ sólo si $10^k \equiv 1 \bmod p$ . Pero si $p \nmid 10$ entonces $10^{p-1} \equiv 1 \bmod p$ por Pequeño teorema de Fermat .

Por lo tanto $p$ divide $10^{p-1}-1$ para todos los números primos $p \not\in \{ 2,5 \}$ .

Answer 2

Sí: es cierto que cada primo $p \neq 2$ o $5$ divide algún número de la forma $10^k-1$ .

Hay una forma sencilla de demostrar este hecho.

Mira los restos de $10^k-1$ cuando se divide por $p$ . Es evidente que sólo hay un número finito de residuos, a saber $0,1,2, \dots, p-1$ . Puesto que los números de la forma $10^k-1$ son infinitas, hay dos de ellas que dan el mismo resto cuando se dividen por $p$ .

Digamos que hay $k<l$ tal que $10^k-1$ y $10^l-1$ tienen el mismo resto cuando se dividen por $p$ . Esto equivale a decir que $$(10^l-1)-(10^k-1)$$ es múltiplo de $p$ . Pero $$(10^l-1)-(10^k-1) = 10^l-10^k = 10^k (10^{l-k}-1)$$ Desde $p$ divide $10^k (10^{l-k}-1)$ y no divide $10^k$ necesariamente $p$ divide $(10^{l-k}-1)$ . Con esto concluye la prueba.

Answer 3

Tiene razón en que $2$ y $5$ son los únicos primos que no son factores de $10^k-1$ para algún número natural $k$ . Tu prueba parece correcta, pero se puede demostrar de forma más sencilla. Suponiendo que para $p$ no igual a $2$ o $5$ , $\frac{1}{p}=0.\overline{d_1d_2...d_r}$ observe (o demuestre - no es demasiado difícil) que $$\displaystyle{1\over p}=0.\overline{d_1d_2...d_r}={d_1d_2...d_r\over {\underbrace{9\cdots9}_{r\ {\text 9s}}}},\ \mbox{ so that}$$ $$p\cdot d_1d_2...d_r={\underbrace{9\cdots9}_{r\ {\text 9s}}}.$$