Me pregunto si alguien podría ayudarme con este problema.
Tengo el siguiente sistema de 2 ecuaciones diferenciales no lineales:
$$\frac {dM} {dt} = k_1 \cdot M \cdot (k_2 \cdot D - k_3) - k_4 \cdot M$$ $$\frac {dD} {dt} = - k_1 \cdot M \cdot (k_2 \cdot D - k_3) - (k_4 + k_5) \cdot D$$
Conozco el valor de $M$ y $D$ a la vez $t=0$ todas las constantes $k_i$ son reales y positivos.
Para dar un poco de contexto, el sistema es una descripción simplificada de la disposición gastrointestinal (GI) de un fármaco. $M$ es la cantidad de fármaco presente como sólido, y $D$ es la cantidad total de fármaco disuelto. El término inicial en el lado derecho de cada ecuación (que contiene $k_1, k_2, k_3$ ) es el término de disolución-precipitación de Nernst-Brunner; como puede verse, si no hubiera otros términos, se alcanzaría un equilibrio entre el fármaco sólido y el disuelto. Los otros términos están relacionados con la excreción desde el tracto gastrointestinal ( $k_4$ ), que ocurre tanto al fármaco sólido como al disuelto por igual, y la suma de la absorción y la descomposición GI ( $k_5$ ), que sólo funciona con $D$ .
Lo ideal sería encontrar expresiones explícitas para $M(t)$ y $D(t)$ pero, por lo que sé, las técnicas habituales que utilizaría (como Laplace) no funcionan en este caso. También he probado a tomar el cociente entre las dos ecuaciones, o a sustituir $R=M+D$ porque la suma de las dos ecuaciones no contiene términos no lineales, pero no consigo encontrar una solución.
P1: ¿Cree que existe una solución analítica? En caso afirmativo, ¿podría indicarnos cómo obtenerla?
A falta de eso, me conformaría con un balance de masas.
En el sistema físico que he descrito, $M$ y $D$ ir a $0$ cuando $t$ llega hasta el infinito. Por lo tanto, si multiplico ambas ecuaciones por $dt$ e integrar, conozco las lhs, y puedo dejar las integrales de $M$ y $D$ implícito:
$$0-M(0) = k_1 \cdot k_2 \cdot \int_0^\infty M \cdot D \cdot dt - (k_1 \cdot k_3 + k_4) \cdot \int_0^\infty M \cdot dt$$ $$0-D(0) = - k_1 \cdot k_2 \cdot \int_0^\infty M \cdot D \cdot dt + k_1 \cdot k_3 \cdot \int_0^\infty M \cdot dt - (k_4 + k_5) \cdot \int_0^\infty D \cdot dt$$
En un sistema lineal, en este punto resolvería las integrales de $M$ y $D$ lo que me permitiría calcular la cantidad total de fármaco excretado, por ejemplo:
$$D_{excreted} = k_4 \cdot \int_0^\infty (M + D) \cdot dt$$
y la suma del fármaco absorbido y descompuesto:
$$D_{abs+dec} = k_5 \cdot \int_0^\infty D \cdot dt$$
que también respeta el equilibrio global de masas:
$$D_{excreted}+D_{abs+dec} = ... = M(0)+D(0)$$
Pero no puedo hacer nada de eso, porque tengo la integral de $M \cdot D$ en ambas ecuaciones y no sé cómo deshacerme de él.
P2: ¿pueden sugerir alguna forma de obtener al menos el balance de masa, es decir, una expresión explícita de $D_{abs} ?$
Gracias
EDITAR (después de los mensajes de player100)
Al eliminar la indeseada integral de $M \cdot D$ del sistema de las dos ecuaciones de balance de masa, y resolviendo para la integral de $D$ Me sale:
$$\int_0^\infty D \cdot dt = \frac {M(0)+D(0)-\int_0^\infty M \cdot dt} {k_4+k_5}$$
He intentado averiguar si la integral de M podría reescribirse de algún modo como función de la integral de D, dada la sugerencia de player100, pero estoy atascado en:
$$M(t)=M(0) \cdot \frac {e^{k_1 \cdot k_2 \cdot \int_0^t D({\tau}) \cdot d{\tau}}} {e^{(k_1 \cdot k_3 + k_4) \cdot t}}$$
Así que mi siguiente paso fue abandonar el modelo original de Nernst-Brunner y utilizar un modelo más sencillo con términos lineales únicamente:
$$\frac {dM} {dt} = k_P \cdot D - k_D \cdot M - k_4 \cdot M$$ $$\frac {dD} {dt} = - k_P \cdot D + k_D \cdot M - (k_4 + k_5) \cdot D$$
que, por supuesto, puede resolverse tanto dejando implícitas las integrales como analíticamente para $M(t)$ y $D(t)$ (por ejemplo, por Laplace).
En cuanto a los valores de $k_P$ y $k_D$ Todavía tengo que encontrar la mejor estrategia para calcularlos a partir de los parámetros de Nernst-Brunner. $k_1, k_2, k_3$ .
El enfoque actual que estoy intentando es considerar los sistemas sin más términos que disolución y precipitación, es decir:
$$\frac {dM} {dt} = -\frac {dD} {dt} = k_1 \cdot M \cdot (k_2 \cdot D - k_3)$$
para el caso Nernst-Brunner (NB), y:
$$\frac {dM} {dt} = -\frac {dD} {dt} = k_P \cdot D - k_D \cdot M$$
para el caso simplificado.
Ambas pueden resolverse analíticamente gracias a que:
$$M(0)+D(0)=M(t)+D(t)$$
y se puede demostrar que $M$ y $D$ alcanzan un "equilibrio", es decir, un valor constante, cuando t tiende a infinito.
Mi objetivo es elegir $k_P$ y $k_D$ para que $D$ para el sistema NB es "lo más parecido posible" a $D$ para el sistema simplificado.
Para ello, una condición importante es que los valores de equilibrio de $M$ (y $D$ ) debe ser el mismo en el sistema simplificado y en el sistema NB. Esto me da una ecuación en $k_P$ y $k_D$ .
La otra ecuación es lo que todavía estoy tratando de averiguar. Al principio pensé que la equiparación de las tasas en el tiempo $0$ estaría bien, pero el sistema NB es un sistema "autocatalizado", es decir, si empiezo con muy poco $M$ y los parámetros son tales que mucho más $M$ debe estar presente en equilibrio, en el sistema NB la tasa de formación de $M$ aumenta inicialmente a medida que $M$ se forma, alcanza un máximo y luego disminuye; en cambio, en el sistema simplificado siempre disminuye, porque $M$ se hace más grande y $D$ se hace más pequeño. Lo contrario ocurre si hay mucha $M$ al principio y debe disolverse: allí la tasa es máxima al principio, pero a medida que $M$ disminuye, disminuye mucho más rápidamente que por la disminución de $D$ solo; el sistema simplificado no puede tenerlo en cuenta. Por tanto, igualar la velocidad inicial significa que el sistema simplificado es demasiado lento en la formación de sólido cuando hay muy poca cantidad, y demasiado rápido en la disolución cuando hay demasiada, en comparación con el caso más "exacto" del NB.
Ya he probado a integrar la diferencia al cuadrado entre el NB $D(t)$ y la simplificada $D(t)$ pero la integral no es analítica.
Así que creo que tengo que encontrar una estrategia más simple, por ejemplo imponiendo que en el momento en que el valor de $D(t)$ es el 90% de su valor de equilibrio en el caso NB, lo mismo ocurre en el caso simplificado. Eso debería darme la ecuación que falta en $k_P$ y $k_D$ .
Por supuesto, cualquier sugerencia sobre este nuevo problema será bienvenida.
EDIT2
He encontrado una forma de solucionar el problema.
La integral de la diferencia al cuadrado entre el NB $D(t)$ y la simplificada $D(t)$ efectivamente no es analítica como he dicho, sino la integral de su diferencia (no al cuadrado) es analítica, y como ambas curvas tienen el mismo valor inicial y final y son siempre $>=0$ no hay ningún problema.
Ajustando la integral a $0$ Obtuve mi segunda ecuación y pude resolver el sistema para $k_P$ y $k_D$ .
Las pruebas numéricas muestran que la correspondencia entre los dos modelos no siempre es buena, pero es suficiente para nuestros fines, y no creo que pudiéramos hacerlo mucho mejor con un modelo lineal.
