¿Alguien tiene alguna idea para esto? Me vendría bien un poco de ayuda.
Respuesta
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Tu opinión $f(t)=\sqrt t$ funciona bien.
Así que ahora quieres encontrar una solución $y$ a $y'(x)=\sqrt {y(x)}$ . Se trata de una ecuación separable. Si $y'(x)\neq 0$ , $$y'(x)=\sqrt {y(x)}\iff y'(x)(y(x))^{-1/2}=1\iff (y(x))^{1/2}=\dfrac x 2+\dfrac C 2,$$ lo que implica $y(x)=\left(\dfrac x2+\dfrac C 2\right)^2$ .
Pero quieres $y(0)=y_0$ . Elijamos $y_0=0$ para simplificar. "Así que $C$ debe ser cero", no del todo porque la solución que obtuvimos fue para siempre que $y(x)\neq 0$ . Podría ser que $y(0)=0$ por lo que se sugiere buscar en $$y_1(x)=\dfrac {x^2}4 \text{ and } y_2(x)=\begin{cases} 0, &\text{if }x\leq -C\\\left(\dfrac x2+\dfrac C2\right)^2, &\text{if }x\ge -C \end{cases},$$ donde $C$ es un número negativo, (se desea desplazar a la derecha, por lo que la solución vale $0$ en $0$ por lo tanto, elegir un negativo $C$ ). Este $y_1$ sólo sirve en $[0, +\infty[$ Así que haz otro ajuste:
Toma $$\varphi _1(x)=\begin{cases} 0, &\text{if }x\leq 0\\ \dfrac {x^2}4, &\text{if }x\ge 0\end{cases}\text{ and }\varphi_2(x)=\begin{cases} 0, &\text{if }x\leq 1\\\left(\dfrac {x-1}2\right)^2, &\text{if }x\ge 1 \end{cases}$$
Debe comprobar que $\varphi _1$ y $\varphi _2$ son diferenciables y son soluciones de la I.V.P..
