¿Tiene la intersección de conjuntos una interpretación categórica?

Question

Mi pregunta es el título, en realidad. Me pregunto si la intersección de conjuntos puede verse como una construcción categórica sobre los objetos de $\mathbf{Set}$ .

Answer 1

$\require{AMScd}$ La categoría más útil para considerar esto no es $\text{Set}$ sino la subcategoría en la que sólo consideramos morfismos inyectivos (inclusiones). En ese caso $A\cap B$ y $A \cup B$ para $A,B \subseteq C$ encajan en estos diagramas de pullback y pushout:

$$ \begin{CD} A\cap B @>>> A \\ @VVV & @VVV \\B @>>> C \end{CD}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{CD} A \cap B @>>> A \\ @VVV & @VVV \\B @>>> A \cup B \end{CD}$$

En $\text{Set}$ se obtienen las mismas respuestas en el caso especial de mapas inyectivos, pero pullbacks y pushouts en $\text{Set}$ no se encuentran en intersecciones y uniones gnerales. Para caracterizar $A\cap B$ y $A\cup B$ por lo que debemos restringirnos a la subcategoría con mapas inyectivos.

El hecho de que $A\cap B$ y $A\cup B$ son pullback y pushouts son esenciales para la forma en que las topologías de Grothendieck generalizan los espacios topológicos. Se sustituyen los conjuntos abiertos de un espacio topológico, considerados como mapas de inclusión, por otras clases de morfismos con propiedades formales similares. Las intersecciones de conjuntos abiertos se sustituyen por productos de fibras (pullbacks) de morfismos.

Answer 2

No, la intersección de dos conjuntos "aislados" $A,B$ no tiene ninguna interpretación categórica. Porque para cualquier significado razonable de esto, nos gustaría tener $A \cap B \cong A' \cap B'$ si $A \cong A'$ y $B \cong B'$ . Pero esto es claramente erróneo (tome $A=B=A'=\{1\}$ y $B'=\{0\}$ ).

Así, desde la perspectiva de la teoría de categorías, la operación teórica de conjuntos $\cap$ no tiene mucho sentido. ¿Qué es $\pi \cap \mathbb{R}$ ¿Se supone? Sin embargo, tiene sentido tomar la intersección con respecto a dos mapas (inyectivos) $A \to C$ y $B \to C$ . A saber, entonces el pullback $A \times_C B$ es la intersección deseada. Para más información, véase también math.SE/295800 y math.SE/704593 y math.SE/866127 .

Answer 3

Si $A, B \subseteq C$ , $i_1$ es la inclusión de $A$ a $C$ y $i_2$ es la inclusión de $B$ a $C$ entonces considera el pullback de $i_1$ y $i_2$ .