Demostrar que la matriz es invertible

Question

Sea $I$ sea una matriz de identidad de tamaño $3$ y que $A$ sea la matriz de tamaño $3$ que tiene tres valores propios diferentes distintos de cero.

Demostrar que la matriz $A + A^{-1} + I$ es invertible.

Yo estaba tratando de demostrar de alguna manera que el determinante es diferente de cero, pero no estoy seguro de si este es un buen enfoque.

Answer 1

La matriz podría ser singular. Por ejemplo $A=\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

Entonces $A+A^{-1}+I=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&3\end{pmatrix}$

Answer 2

Como se tienen tres valores propios diferentes, se puede diagonalizar $A = T D T^{-1} $ donde $ D$ es la matriz diagonal con los tres valores propios diferentes en la diagonal. Ahora bien,

$$ A + A^{-1} + I = T (D + D^{-1} + I)T^{-1}.$$

Usa esto para decir algo sobre los valores propios de la matriz.

En respuesta a su comentario: La fórmula anterior le da $$ \tilde\lambda_i = \lambda_i +\lambda_i^{-1} + 1 $$ para los nuevos valores propios, donde $ \lambda_i $ son los valores propios de $A$ . Por lo tanto,

$$ \tilde\lambda_i = 0 \iff \lambda_i^2 + \lambda_i + 1 = 0 .$$

Dado que el polinomio anterior no tiene raíces reales, la afirmación se cumple si los valores propios de $A$ deben ser reales. Si se permite que los valores propios sean complejos, la afirmación falla, ya que entonces el polinomio tiene ceros. En la otra respuesta se da un ejemplo.