Submanifolds incrustados: el círculo en $\mathbb R^2$ .

Question

Me cuesta entender los homeomorfismos y las incrustaciones. Especialmente consideré el círculo y cómo incrustarlo en $\mathbb{R}^2$ .

Considere la función $f: [0,2\pi) \rightarrow \mathbb{R}^2; x \mapsto (\cos x,\sin x)$ . No se trata de un homeomorfismo, ya que $f^{-1}$ no es continua. Otra forma de ver que no existe ningún homeomorfismo puede verse observando $[0,2\pi)$ está abierto pero $f([0,2\pi))$ no está ni abierta ni cerrada. [Wikipedia/Homeomorfismo][1] y [Stackoverflow][2]

¿Es correcta esta deducción?

La verdadera confusión comienza ahora. Porque $f$ no es un homeomorfismo, no puede ser una incrustación, que son homeomorfismos sobre sus imágenes.([Wikipedia/Homeomorfismo][3]) Sin embargo, algunos autores sostienen lo contrario; véase, por ejemplo, [Enlace, Ejemplo 3.2 final] [4]. Así pues, supongo que he entendido algo mal.

Si no me equivoco $f$ no hay incrustación del círculo unitario en $\mathbb{R}^2$ ¿cómo puede demostrarse que el círculo puede incrustarse en $\mathbb{R}^2$ ? O más en general ¿cómo se puede demostrar que $S^{n-1}$ (la esfera unitaria (n-1)-dimensional) puede incrustarse en $\mathbb{R}^n$ ?

[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Homeomorphism#Notes [2]: Demostrar erróneamente que un intervalo tiene un homeomorfismo a $S^1$ [3]: https://en.wikipedia.org/wiki/Embedding#General_topology [4]: https://math.uchicago.edu/~may/REU2019/REUPapers/Smith,Zoe.pdf

Answer 1

Quizá deberías empezar por leer con precisión qué son un homeomorfismo y una incrustación:

1. Una función $f:X\to Y$ es un homeomorfismo si es invertible, continuo y $f^{-1}$ es continua.
2. Normalmente, una función $f:X\to Y$ se denomina incrustación si $f$ en función de $X\to f(X)$ es un homeomorfismo.

Obsérvese que cada homeomorfismo es una incrustación, pero no viceversa.

Es importante que comprenda el papel de $Y$ aquí. Si $f$ no es "onto", entonces no es invertible y, por tanto, no es un homeomorfismo. Sin embargo, puede ser una incrustación.

Considere la función $f: [0,2\pi) \rightarrow \mathbb{R}^2; x \mapsto (\cos x,\sin x)$ . No se trata de un homeomorfismo, ya que $f^{-1}$ no es continua.

Incorrecto. No es un homeomorfismo porque no es invertible: olvídate de $f^{-1}$ siendo continua, ¡no existe! Porque la imagen no es completa $\mathbb{R}^2$ , $f$ no es "sobre".

Y no es una incrustación, porque su imagen es $S^1$ y $f$ (en función de $[0,2\pi)\to S^1$ ) no tiene inversa continua.

Y de hecho si $f:[0,2\pi)\to \mathbb{R}^2$ con $S^1$ como su imagen, entonces $f$ no es una incrustación, independientemente de cómo $f$ se define. Porque entonces induciría un homeomorfismo $[0,2\pi)\to S^1$ pero $S^1$ es compacto mientras que $[0,2\pi)$ no lo es.

La verdadera confusión comienza ahora. Porque $f$ no es un homeomorfismo, no puede ser una incrustación, que son homeomorfismos sobre sus imágenes.

Homeomorfismo sobre la imagen no es un homeomorfismo. Incrustación no es un homeomorfismo en general. Es decir, vuelve a leer atentamente tu afirmación. Dices "no homeomorfismo $\Rightarrow$ no incrustar", o equivalentemente "incrustar $\Rightarrow$ homeomorfismo". Entonces, ¿son lo mismo los términos "incrustación" y "homeomorfismo"? Por supuesto que no. Pero sí, entiendo que esta convención de nomenclatura pueda confundir.

¿cómo puede demostrarse que el círculo puede incrustarse en $\mathbb{R}^2$ ?

Pues bien, el círculo, o cualquier esfera se define como

$$S^n=\big\{v\in\mathbb{R}^{n+1}\ \big|\ \lVert v\rVert =1\big\}$$

por lo que hay un candidato obvio: la inclusión

$$i:S^n\to\mathbb{R}^{n+1}$$ $$i(x)=x$$

Es una incrustación, porque la imagen es $S^1$ y $i^{-1}=i$ (en la imagen).

No es un homeomorfismo, porque $i$ en función de $S^n\to\mathbb{R}^{n+1}$ no es invertible.