Sacar bolas de una urna

Question

Este es el problema estándar de Sheldon Ross. Hay $20$ bolas rojas , $10$ bolas azules y $8$ bolas verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan extraído todas las bolas rojas antes de que se hayan extraído todas las bolas azules?

Sé que esta pregunta ya se ha formulado antes. Pero mi pregunta es un poco diferente.

Sé intuitivamente que la respuesta debería ser $\frac{1}{3}$ que es la probabilidad de sacar la última bola es azul.

Pero he derivado una expresión en términos de una suma finita para describir la probabilidad y la expresión efectivamente se evalúa a $\frac{1}{3}$ (Utilizando software, concretamente desmos) . Mi pregunta es cómo probar que la suma evalúa a $\frac{1}{3}$ utilizando el álgebra y no sólo el cálculo por fuerza bruta.

La expresión que derivé:- Considere desde el final que hay $r$ bolas verdes. Así que la última bola azul se encuentra antes de las últimas r bolas verdes.

Así que nuestra expresión para la probabilidad es

$$\displaystyle \frac{\frac{1}{9!20!}\sum_{r=0}^{8}\frac{(37-r)!}{(8-r)!}}{\frac{38!}{20!10!8!}}$$ .

Ahora esto se evalúa como $\frac{1}{3}$ . Pero cómo lo evalúo utilizando la mano y no sólo por fuerza bruta utilizando un programa informático.

Answer 1

Para facilitar el cálculo digamos que dibujamos todos $38$ bolas . En $38$ dibuja $8$ son verdes, de los restantes $30$ dibuja $20$ son rojos y el resto azules. El total de posibilidades es el siguiente

$$ \binom{38}{8}\cdot\binom{30}{20} $$

Ahora digamos que nos quedamos sin rojo antes que sin azul. Todavía tenemos $8$ verde de $38$ sorteos. Sin embargo, tenemos $20$ rojo de la primera $29$ sorteos no verdes. Las posibilidades totales son las siguientes

$$ \binom{38}{8}\cdot\binom{29}{20} $$

La probabilidad es entonces

$$ \begin{align} \frac{\binom{38}{8}\cdot\binom{29}{20}}{\binom{38}{8}\cdot\binom{30}{20}}&=\frac{\frac{29!}{20!\cdot 9!}}{\frac{30!}{20!\cdot 10!}}\\ \\ &=\frac{1}{3} \end{align} $$