Sistema ortonormal completo en $L_2(a,b)$

Question

Quiero demostrar que si $(u_j)_{j=1}^\infty$ es un sistema ortonormal completo en $L_2(a,b)$ entonces $(\overline{u_j})_{j=1}^\infty$ es también un sistema ortonormal completo en $L_2(a,b)$ . ¿Alguna idea sobre cómo abordar esta prueba?

Pruebas $(\overline{u_j},\overline{u_i})=\delta_{ij}$ parece sencillo: $$(\overline{u_j},\overline{u_i})=\int_a^b\overline{u_j}(t)\overline{\overline{u_i}}(t)dt=\int_a^bu_i(t)\overline{u_j}(t)dt=(u_i,u_j)=\delta_{ij}.$$ ¿Alguna idea sobre cómo demostrar la exhaustividad?

Answer 1

Supongamos que $(f,\bar{u}_j)=0$ para todos $j$ . Entonces, por definición $$ \int_a^bf(x)u_j(x)\;dx=0 $$ para todos $j$ y tomando el conjugado complejo de la integral obtenemos $$ 0=\overline{\int_a^bf(x)u_j(x)\;dx}=\int_a^b\overline{f(x)}\overline{u_j(x)}\;dx=(\bar{f},u_j) $$ para todos $j$ .

Desde $\{u_j\}$ es por hipótesis una base ortonormal, esto implica que $\bar{f}=0$ en casi todas partes, por lo que $f=0$ casi en todas partes. Por lo tanto $\{\bar{u}_j\}$ también es una base ortonormal.