Si $f$ es continua, entonces $X$ y $\{(x,f(x)); x\in X\}$ (el dominio y la gráfica de $f$ ) son homeomórficas

Question

Sea $X$ y $Y$ sean espacios topológicos y $f:X\to Y$ . El gráfico de $f$ es el subconjunto $G=\{(x,f(x))\}\subseteq X\times Y$ . Demuestre que si $f$ es continua, entonces $X$ es homeomorfo al grafo de $f$ .

Mi intento: Deja $h:X\to G$ por $h(x)=(x,f(x))$ . El hecho de que $h$ es una biyección está claro. Ahora bien, como $g:X\to X$ por $g(x)=x$ es continua y $f:X\to Y$ es continua por hipótesis, la propiedad de mapeo universal de los productos dice que $h$ debe ser continua. Tengo problemas para mostrar $h^{-1}$ es continua aunque... $g^{-1}:X\to X$ es continua por el mismo argumento que para $g$ pero ¿cómo puedo demostrar que $f^{-1}$ ¿es continua?

Answer 1

El mapa $h^{-1}\colon G\to X$ mapas $(x,f(x))$ a $x$ . Por lo tanto se puede obtener como la restricción de la proyección $X\times Y\to X$ al subespacio $G$ de $X\times Y$ . Las proyecciones son continuas, y también lo es un mapa de inclusión de un subespacio.