Es la suma de los dígitos de $3^{1000}$ divisible por $7$ ?

Question

Estoy trabajando en un pequeño ejercicio que encontré en mi libro de secundaria (impreso en 2007) que es bastante complicado.

Es la suma de los dígitos de $3^{1000}$ un múltiplo de $7$ ?

¿Tiene algún consejo para resolver este tipo de problema (sin programar, por supuesto)?

PS :

Somos un grupo de 3 franceses que trabajamos en ello desde 2007.

La suma calculada con Python es 2142, este número es múltiplo de 7 PERO queremos una respuesta matemática.

Todos los resultados que figuran a continuación están demostrados matemáticamente.

$3^{1000}$ tiene 478 dígitos y la suma de dígitos de $3^{1000}$ no puede ser superior a 4302 (9*478).

Esta suma es múltiplo de 3 y de 9.

Los últimos dígitos de $3^{1000}$ son 0001 (prueba matemática no resultado de un cálculo informático).

El que creó este ejercicio no sabe la respuesta.

Por favor, ¡ayúdenos con cualquier pista!

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Publicado en https://mathoverflow.net/q/282035/22954 en MathOverflow.

Answer 1

Base- $10$ sumas de dígitos mod $7$ no se comportan especialmente bien. Los primeros cien $n$ para el que la suma de dígitos de $3^n$ es divisible por $7$ son $$ 25, 26, 30, 32, 47, 58, 79, 81, 87, 89, 102, 123, 141, 144, 145, 151, 164, 176, 178, 193, 201, 227, 239, 242, 257, 264, 282, 289, 300, 306, 319, 324, 329, 335, 336, 338, 348, 351, 358, 365, 395, 403, 437, 441, 450, 460, 468, 484, 489, 492, 495, 517, 518, 541, 542, 544, 554, 555, 563, 565, 570, 580, 587, 597, 601, 610, 617, 618, 620, 638, 639, 655, 659, 663, 671, 695, 720, 721, 745, 748, 755, 757, 772, 774, 781, 783, 789, 790, 797, 800, 805, 809, 813, 822, 826, 828, 841, 844, 850, 859$$ No veo ningún patrón aquí.