¿Son los subgrupos Carter proyectores nilpotentes?

Question

R. Carter demostró que en grupos solubles finitos $G$ Subgrupos Carter $C$ existen y que se conjugan. Además son exactamente los proyectores nilpotentes: Para cada subgrupo normal $N$ de $G$ el grupo de factores $CN/N$ es maximal nilpotente en $G/N$ .

Mi pregunta es si en los grupos solubles no finitos los subgrupos Carter (si existen) son proyectores nilpotentes.

Son nilpotentes máximos también en el caso infinito y también para grupos no resolubles.

Para mi estudio me gustaría saber esto para un producto semidirecto de un subgrupo nomral nilpotente con un subgrupo abeliano.

(Esta pregunta también está en stackexchange, sin respuesta).

Answer 1

Esto no es cierto para infinitos grupos insolubles.

Sea $K$ sea el producto directo de un número contablemente infinito de copias $\langle a_i,b_i \rangle$ ( $i \in {\mathbb N}$ ) de $S_3 = \langle a,b \mid a^2=b^3=(ab)^2=1 \rangle$ y que $G$ sea el producto semidirecto de $K$ con un grupo $\langle t \rangle$ de orden $2$ que actúa sobre cada copia de $S_3$ por $a_i^t=a_ib_i$ , $b_i^t=b_i^{-1}$ . (Así que $t$ actúa de la misma manera en $\langle a_i,b_i \rangle$ como conjugación por $a_ib_i^{-1}$ .)

Entonces el subgrupo $A = \langle a_i \mid i \in {\mathbb N} \rangle$ es nilpotente (es un abeliano elemental $2$ -grupo) y autonormalizante en $G$ . Pero $N = \langle b_i \mid i \in {\mathbb N} \rangle$ (que es un abeliano elemental $3$ -) es normal en $G$ , $G/N$ es abeliano, y $AN/N$ es normal de índice $2$ en $G/N$ .

Obsérvese también que el subgrupo $N$ tiene el complemento abeliano elemental $\langle t, a_ib_i^{-1}\,(i \in {\mathbb N})\, \rangle$ en $G$ Así que $G$ es un producto semidirecto de un subgrupo normal nilpotente por un grupo abeliano.