diferenciabilidad e intervalo cerrado

Question

Si $f$ es una función de valor real diferenciable en $[a,b]$ ¿es cierto que $f'$ mapas $[a,b]$ en un intervalo cerrado? Aquí $f'$ significa la primera derivada de la función $f$ .

He intentado utilizar el teorema de DARBOUX pero no me sirve.

Answer 1

La imagen de $f'$ no tiene por qué ser un intervalo cerrado. Como ejemplo, considere

$$g(t) = \begin{cases}e^{-\lvert t\rvert}\sin \frac1t &, t \neq 0\\ 0 &, t = 0\end{cases}$$

y

$$f(x) := \int_0^x g(t)\,dt.$$

Es inmediato que $f'(x) = g(x)$ para $x \neq 0$ . Es menos evidente, pero se puede comprobar con un pequeño cálculo (véase más adelante), que $f$ también es diferenciable en $x = 0$ con $f'(0) = 0$ . En consecuencia, $f'([a,\,b]) = (-1,\,1)$ para todos los intervalos con $a < 0 < b$ .

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Para calcular $f'(0)$ reescribimos la integral para obtener algo más fácil de manejar,

$$f(x) = \underbrace{\int_0^x \sin \frac1t\,dt}_{a(x)} - \underbrace{\int_0^x (1 - e^{-\lvert t\rvert})\sin \frac1t\, dt}_{b(x)}.$$

Por simetría ( $g$ es una función impar, por lo que $f$ es par), sólo tenemos que considerar $x > 0$ . $b(x)$ es muy fácil de tratar:

$$\lvert b(x)\rvert \leqslant \int_0^x \left\lvert (1-e^{-t})\sin \frac1t\right\rvert \, dt \leqslant \int_0^x \lvert 1-e^{-t}\rvert\,dt \leqslant \int_0^x t\,dt = \frac{x^2}{2},$$

así $\frac{b(x)-b(0)}{x} \leqslant \frac{x}{2} \to 0$ .

Para $a(x)$ sustituimos $u = 1/t$ y obtener

$$\begin{align} a(x) &= \int_0^x \sin \frac1t\,dt\\ &= \int_{1/x}^\infty \frac{\sin u}{u^2}\, du\\ &= \left[\frac{-\cos u}{u^2}\right]_{1/x}^\infty - 2\int_{1/x}^\infty \frac{\cos u}{u^3}\,du\\ &= x^2\cos \frac1x - 2\int_{1/x}^\infty \frac{\cos u}{u^3}\,du. \end{align}$$

La integral puede estimarse

$$2\left\lvert \int_{1/x}^\infty \frac{\cos u}{u^3}\,du\right\rvert \leqslant \int_{1/x}^\infty \frac{2}{u^3}\,du = x^2$$

y por lo tanto

$$\left\lvert \frac{a(x)-a(0)}{x}\right\rvert \leqslant 2x,$$

que, junto con la estimación de $b$ produce

$$\left\lvert\frac{f(x)-f(0)}{x}\right\rvert \leqslant \frac52 x.$$

Answer 2

Consideremos más fácilmente una función constante sobre un intervalo cerrado. Su derivada será $\{0\}$ que es un conjunto cerrado en $\mathbb{R}$ pero no un intervalo cerrado. Así que la respuesta.