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diferenciabilidad e intervalo cerrado

Si f es una función de valor real diferenciable en [a,b] ¿es cierto que f mapas [a,b] en un intervalo cerrado? Aquí f significa la primera derivada de la función f .

He intentado utilizar el teorema de DARBOUX pero no me sirve.

4voto

MrTuttle Puntos 1116

La imagen de f no tiene por qué ser un intervalo cerrado. Como ejemplo, considere

g(t)={e|t|sin1t,t00,t=0

y

f(x):=x0g(t)dt.

Es inmediato que f(x)=g(x) para x0 . Es menos evidente, pero se puede comprobar con un pequeño cálculo (véase más adelante), que f también es diferenciable en x=0 con f(0)=0 . En consecuencia, f([a,b])=(1,1) para todos los intervalos con a<0<b .


Para calcular f(0) reescribimos la integral para obtener algo más fácil de manejar,

f(x)=x0sin1tdta(x)x0(1e|t|)sin1tdtb(x).

Por simetría ( g es una función impar, por lo que f es par), sólo tenemos que considerar x>0 . b(x) es muy fácil de tratar:

|b(x)|

así \frac{b(x)-b(0)}{x} \leqslant \frac{x}{2} \to 0 .

Para a(x) sustituimos u = 1/t y obtener

\begin{align} a(x) &= \int_0^x \sin \frac1t\,dt\\ &= \int_{1/x}^\infty \frac{\sin u}{u^2}\, du\\ &= \left[\frac{-\cos u}{u^2}\right]_{1/x}^\infty - 2\int_{1/x}^\infty \frac{\cos u}{u^3}\,du\\ &= x^2\cos \frac1x - 2\int_{1/x}^\infty \frac{\cos u}{u^3}\,du. \end{align}

La integral puede estimarse

2\left\lvert \int_{1/x}^\infty \frac{\cos u}{u^3}\,du\right\rvert \leqslant \int_{1/x}^\infty \frac{2}{u^3}\,du = x^2

y por lo tanto

\left\lvert \frac{a(x)-a(0)}{x}\right\rvert \leqslant 2x,

que, junto con la estimación de b produce

\left\lvert\frac{f(x)-f(0)}{x}\right\rvert \leqslant \frac52 x.

2voto

Dutta Puntos 3026

Consideremos más fácilmente una función constante sobre un intervalo cerrado. Su derivada será \{0\} que es un conjunto cerrado en \mathbb{R} pero no un intervalo cerrado. Así que la respuesta.

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