Si f es una función de valor real diferenciable en [a,b] ¿es cierto que f′ mapas [a,b] en un intervalo cerrado? Aquí f′ significa la primera derivada de la función f .
He intentado utilizar el teorema de DARBOUX pero no me sirve.
Si f es una función de valor real diferenciable en [a,b] ¿es cierto que f′ mapas [a,b] en un intervalo cerrado? Aquí f′ significa la primera derivada de la función f .
He intentado utilizar el teorema de DARBOUX pero no me sirve.
La imagen de f′ no tiene por qué ser un intervalo cerrado. Como ejemplo, considere
g(t)={e−|t|sin1t,t≠00,t=0
y
f(x):=∫x0g(t)dt.
Es inmediato que f′(x)=g(x) para x≠0 . Es menos evidente, pero se puede comprobar con un pequeño cálculo (véase más adelante), que f también es diferenciable en x=0 con f′(0)=0 . En consecuencia, f′([a,b])=(−1,1) para todos los intervalos con a<0<b .
Para calcular f′(0) reescribimos la integral para obtener algo más fácil de manejar,
f(x)=∫x0sin1tdt⏟a(x)−∫x0(1−e−|t|)sin1tdt⏟b(x).
Por simetría ( g es una función impar, por lo que f es par), sólo tenemos que considerar x>0 . b(x) es muy fácil de tratar:
|b(x)|⩽
así \frac{b(x)-b(0)}{x} \leqslant \frac{x}{2} \to 0 .
Para a(x) sustituimos u = 1/t y obtener
\begin{align} a(x) &= \int_0^x \sin \frac1t\,dt\\ &= \int_{1/x}^\infty \frac{\sin u}{u^2}\, du\\ &= \left[\frac{-\cos u}{u^2}\right]_{1/x}^\infty - 2\int_{1/x}^\infty \frac{\cos u}{u^3}\,du\\ &= x^2\cos \frac1x - 2\int_{1/x}^\infty \frac{\cos u}{u^3}\,du. \end{align}
La integral puede estimarse
2\left\lvert \int_{1/x}^\infty \frac{\cos u}{u^3}\,du\right\rvert \leqslant \int_{1/x}^\infty \frac{2}{u^3}\,du = x^2
y por lo tanto
\left\lvert \frac{a(x)-a(0)}{x}\right\rvert \leqslant 2x,
que, junto con la estimación de b produce
\left\lvert\frac{f(x)-f(0)}{x}\right\rvert \leqslant \frac52 x.
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