Comprender parte de una demostración de la desigualdad de Chebyshev

Question

Estoy tratando de entender esta prueba que estoy leyendo para el caso discreto de la desigualdad de Chebyshev:

$$P(|X-EX|<\epsilon)\ge 1-\frac{\operatorname{Var}(X)}{\epsilon^2}$$

Prueba:

Sin pérdida de generalidad, supondremos que existe $\epsilon > 0$ para el que el primer $k$ valores de la variable aleatoria $|X-EX|$ son inferiores $\epsilon$ y el resto no son menos que eso $\epsilon$ . Entonces

$$P(|X-EX|<\epsilon)=1-\sum_{i=k+1}^\infty p_i,$$

donde $p_i=P(X=x_i)$ . Para encontrar $\sum_{i=k+1}^\infty p_i$ veamos la varianza de la variable aleatoria $|X-EX|$ (Creo que aquí puede haber un error ya que en la siguiente línea estamos viendo $Var(X)$ ):

$$\operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^k p_i(x_i-EX)^2+\sum_{i=k+1}^\infty p_i(x_i-EX)^2 \ge \sum_{i=k+1}^\infty p_i(x_i-EX)^2,$$

de donde

$$\sum_{i=k+1}^\infty p_i \ge \frac{\operatorname{Var}(X)}{\epsilon^2}.$$

Finalmente obtenemos, que

$$P(|X-EX| < \epsilon) \ge 1-\frac{Var(X)}{\epsilon^2}$$

No entiendo esa última parte, es decir, por qué $\sum_{i=k+1}^\infty p_i \ge \frac{\operatorname{Var}(X)}{\epsilon^2}$ ?

Answer 1

Dado que cada valor de $(x_i-EX)^2$ es mayor que $\epsilon^2$ tenemos

$$\operatorname{Var}(X)\ge \sum_{i=k+1}^\infty p_i(x_i-EX)^2 \ge \sum_{i=k+1}^\infty p_i\epsilon^2.$$

A partir de ahí dividiendo por $\epsilon^2$ obtenemos $\sum_{i=k+1}^\infty p_i \le \frac{Var(X)}{\epsilon^2}$ y no al revés.

En $\sum_{i=k+1}^\infty p_i \le \frac{\operatorname{Var}(X)}{\epsilon^2}$ se deduce que $1- \sum_{i=k+1}^\infty p_i \ge 1-\frac{\operatorname{Var}(X)}{\epsilon^2}$ y de ahí obtenemos

$P(|X-EX|<\epsilon) \ge 1-\frac{\operatorname{Var}(X)}{\epsilon^2}$ .