Encontrar todas las funciones continuas (y no necesariamente diferenciables) que cumplan $[f(x)]^2=\int_0^t f(s)ds,\quad t\ge0$

Question

¿Puede alguien decirme si mi planteamiento es correcto o tiene errores?

En primer lugar, tenemos que utilizar la desigualdad de Gronwall - Bellman para demostrar que todas las funciones continuas no negativas $f(t)$ que satisfagan $$f(t)\le\int_0^t f(s)ds,\quad t\ge0$$ son iguales a 0. Como queremos demostrar que $[f(t)]^2=\int_0^t f(s)ds$ sabemos que $\int_0^t f(s)ds\ge 0$ mientras que $f$ es continua. Por lo tanto, las funciones que satisfacen la igualdad anterior son todas $f(t)=0,\quad t\ge0\quad$ (ya que no sabemos si las funciones son diferenciables o no).

Answer 1

No hay relación entre su desigualdad y su igualdad original.

Si $f $ es continua y cumple la igualdad, entonces $f^2$ es diferenciable. Si $f (x_0)>0$ para algunos $x_0 $ entonces $f (x)=[f (x)^2]^{1/2} $ es diferenciable en ese intervalo. Análogamente donde $f $ es negativo.

Así, en cualquier intervalo en el que $f $ es distinto de cero podemos diferenciar para obtener $$2f (x)f'(x)=f (x). $$ Por lo tanto, en dicho intervalo $f'(x)=1/2$ . Esto da $f (x)=x/2+c $ . Introduciendo esto en la ecuación se obtiene $$cx+c^2=cx, $$ así que $c=0$ .

Entonces una continua $f $ que satisface la ecuación es $f (x)=x/2$ para cada $x $ tal que $f (x)\ne0$ . Por continuidad, $f (x)=x/2$ . Esta es la única solución distinta de la función cero.

Como menciona A.G. más adelante, si el dominio es toda la recta real, entonces f es cero para x negativo.

Answer 2

Hay una errata en la integral: debería ser $x$ en lugar de $t$ .

Es evidente que $f(0)=0$ . Probando con un polinomio se tiene $$\left(\sum a_nx^n\right)^2=\sum \frac{a_nx^{n+1}}{n+1}\Rightarrow f(x)=\frac x2$$ Tomar ahora $f(x)=\dfrac x2+g(x)$ de nuevo $g(0)=0$ y $$\int_0^x\left(\frac s2+g(s)\right)ds=\int_0^x\frac s2ds+\int_0^x g(s)ds=\frac{x^2}{4}+xg(x)+(g(x))^2$$ de ahí $$\int_0^x g(s)ds=xg(x)+(g(x))^2$$ Desde $xg(x)$ es el área del rectángulo de lados $x$ y $g(x)$ es fácil demostrar que $g(x)=0$ porque si no entonces hay un punto en el que $\int_0^x g(s)ds\lt xg(x)$ .

Así $f(x)=\dfrac x2$ es la única solución continua.