$X \sim Beta(m,2)$ y $P \left(X\le\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}$ encontrar Varianza

Question

Sea $X$ siguen una distribución beta con parámetros $m(<0)$ y $2$ . Si $P \left(X\le\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2},$ entonces $Var(X)$ ?

$(A)\ \ \dfrac{1}{10}\space\ \ \ (B)\ \ \dfrac{1}{20}\ \ \ (C)\ \ \dfrac{1}{25} \ \ \ (D)\ \ \dfrac{1}{40}$

$V(X)=\dfrac{mn}{(m+n)^2(m+n+1)}=\dfrac{2m}{(m+2)^2(m+3)} \ \ \ \ \ \ ---->(1)$

$\int_{0}^{\frac{1}{2}}x^{m-1}(1-x)dx=\left(\frac{x^{m}}{m}\right)_{0}^{\frac{1}{2}}-\left(\frac{x^{m+1}}{m+1}\right)_{0}^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{1}{2^{m}m}\right)-\left(\frac{1}{2^{m+1}(m+1)}\right)=\frac{B(m,2)}{2}\ \ \ \ \ \ ---->(2)$

Ahora he introducido los valores a golpe de prueba

Para $m=2$

$\dfrac{2m}{(m+2)^2(m+3)}=\dfrac{1}{20}$

también satisface $(2)$

$\dfrac{1}{2^2\cdot2}-\dfrac{1}{24}=\dfrac{1}{12}=\dfrac{B(2,2)}{2}$

Para $m=3$

$\dfrac{2m}{(m+2)^2(m+3)}=\dfrac{1}{25}$

pero

$\dfrac{1}{2^3\cdot3}-\dfrac{1}{2^4 \cdot 4}=\dfrac{1}{12}\ne\dfrac{B(3,2)}{2}$

Esta pregunta surgió $2$ por lo que debe haber una salida fácil que no soy capaz de averiguar. Por favor, sugiérame un método alternativo.

Answer 1

Lo más sencillo es decir que si un $\mathrm{Beta}(a,b)$ distribución ha $a>b$ entonces $\mathbb P(X \le \frac12) \lt \frac12$ y su mediana está por encima de $\frac12$ mientras que si $a<b$ entonces $\mathbb P(X \le \frac12) \gt \frac12$ y su mediana está por debajo de $\frac12$ .

Esto puede demostrarse comparando las densidades en $x$ y $1-x$ y, a continuación, integrando sobre los medios intervalos. Cuando $a=b$ obtienes $\mathbb P(X \le \frac12) = \frac12$ y una mediana de $\frac12$ por simetría.

Así que aquí tienes $m=2$ y $\mathrm{Beta}(2,2)$ es simétrica con una mediana de $\frac12$ y una varianza de $\frac1{20}$ .