Una pregunta sobre la restricción de mapas cociente a subconjuntos de dominio.

Question

La "Topología" de Munkres (Segunda edición) dice lo siguiente:

Sea $p:X\to Y$ sea un mapa cociente; sea $A$ sea un subespacio de $X$ que está saturado con respecto a $p$ dejar $q:A\to p(A)$ sea el mapa obtenido restringiendo $p$ . Si $A$ está abierto o cerrado en $X$ entonces $q$ es un mapa cociente.

1. ¿No es $A=p^{-1}(Y)$ considerando $A$ está saturado con respecto a $p$ y $p$ es suryectivo porque es un mapa cociente?

2. Si (1) es cierto, ¿no es $A=X$ y, por tanto, ¿se cierra (y se abre) automáticamente?

Gracias de antemano.

Answer 1

1. es falso, sólo tiene $A=p^{-1}(Z)$ con $Z$ un determinado subconjunto de $Y$ .
2. también si es falso.

Tiene que demostrar que $q$ es continuo (y lo es porque se obtiene de un mapa continuo restringiendo dominio y codominio) y suryectivo (y lo es porque $p(A)=q(A)$ por definición de $q$ ) y que si $q^{-1}(T)$ está abierto en $A$ entonces $T$ está abierto en $q(A)$ . Esto es cierto ya que: (supongamos $A$ está abierto en $X$ ) $q^{-1}(T)$ está abierto en $X$ . Desde $q^{-1}(T)=p^{-1}(T) \cap A=p^{-1}(Z \cap T)$ tenemos $Z \cap T$ está abierto en $Y$ . Pero $Z \cap T=T$ así que $T$ está abierto en $q(A)$ .

Answer 2

Según Munkre saturado significa que o bien $p^{-1}(\{y\}) \subset A$ o $p^{-1}(\{y\}) \subset A^c$ para cada $y \in Y$ . Sólo se consigue que $A = p^{-1}(p(A))$ .