Resolviendo un ejercicio de texto con De Moivre-Laplace

Question

Estoy trabajando en el siguiente ejercicio:

Supongamos que el 18% de las personas que reservan un asiento en un avión no toman realmente el vuelo. Supongamos que los pasajeros toman el vuelo de manera independiente y que el avión tiene 220 asientos disponibles. Hay más reservas que asientos, por lo que quedan menos asientos sin usar.

¿Cuántas reservas se pueden hacer como máximo, para que la probabilidad de que cada pasajero obtenga un asiento sea $ \geq 99 $%?

Debemos resolver esto con el teorema De Moivre-Laplace. Definí $ X_n $ como el número de pasajeros que abordan y $ n $ como el número deseado de reservas. Quería aproximar $ P(0\leq X_n\leq 220)\geq 0.99 $ con la distribución normal estándar y resolver para $ n $. Obtuve $ P(0\leq X_n\leq 220)\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x_2}^{x_1}e^{-\frac{t^2}{2}}dt $, donde $ x_1=\frac{220-0.82n}{\sqrt{n\cdot0.82\cdot0.18}} $ y $ x_2=\frac{-0.82n}{\sqrt{n\cdot0.82\cdot0.18}} $. No estoy muy seguro de eso, sin embargo.

Pero mi pregunta sería: ¿Cómo resolver para $ n $? Me dieron la pista de que puedo invertir la función de distribución buscando en la tabla de distribución estándar un valor cercano a 0.99. Pero estoy perdido en cómo utilizar esto exactamente.

¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

He visto que has hecho algunos progresos. Sin embargo, publico mis pensamientos. Puedes usar la función para la distribución acumulativa de la normal estándar, que es $\Phi(z)$. Mira aquí la tabla. Pero primero tienes $P(X\leq 220)=\Phi\left(\frac{220-0.82n}{\sqrt{n\cdot0.82\cdot0.18}} \right)\geq 0.99$

Ahora debes usar la función inversa.

$\frac{220-0.82n}{\sqrt{n\cdot0.82\cdot0.18}} \geq \Phi^{-1}\left(0.99\right)$

Ahora puedes usar la tabla para ver en qué valor de z tienes una probabilidad de 0.99 en la tabla. Esto es aproximadamente en $z=2.33$. No sé de dónde has obtenido $z=2.3$.

O puedes hacer una ecuación con la integral: $\int\limits_{-\infty}^z \frac1{\sqrt{2\cdot \pi}}\cdot e^{\frac12x^2} \, dx=0.99$. Con wolfram alpha obtengo $z=2.32634$.

Así que la desigualdad es $\frac{220-0.82n}{\sqrt{n\cdot0.82\cdot0.18}} \geq 2.32634$

El resultado es

n<=251.024