Otra prueba (comprobación) de que el conjunto de puntos aislados de un conjunto en $\mathbb R^n$ es contable

Question

Sólo pensaba si esta prueba funciona, y tengo algunos finales "no tan explícitos", así que me encantaría que me sugirieras una forma de perfeccionarla.

Teorema : $S \subset \mathbb R^n$ es un conjunto. Entonces el conjunto de puntos aislados de $S$ es contable.

Prueba: Sea $S_{\lambda}$ denotan el conjunto de puntos aislados de $S$ .

Así $\forall ~ \bf{x}$ $\in S_{\lambda}$ , $\exists ~ \varepsilon_{\bf{x}} \in \mathbb R^+$ tal que $B(\bf{x}$ , $~\varepsilon_{\bf{x}})\cap S =\phi$

Sabemos que el conjunto de bolas abiertas de coordenadas racionales es contable.

Diga $\bf{x}$ $=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ y chooae racionales $r_j$ tal que $||x_j -r_j||<\frac{\varepsilon_{\bf{x}}}{4n}$ .

Establecer $r_{\phi_x}=(r_1,r_2,\dots, r_n)$

Entonces $||~ \bf{x}$ $-r_{\phi_x}~||< \frac{\varepsilon_{\bf{x}}}{4}$

Así $B(r_{\phi_x,\frac{\varepsilon_{\bf{x}}}{4}}) \subseteq B(\bf{x}$ $,\varepsilon_{\bf{x}})$ . Así podemos generar una bola con coordenadas racionales que es un subconjunto de la bola con centro en $\bf{x}$ con radio $\varepsilon_{\bf{x}}$ para todos $x \in S_{\lambda}$ .

Para terminar, definimos el mapa $\Gamma:B_{\mathbb Q}\to B_{S_{\lambda}}$ (donde $B_{\mathbb Q}$ es el conjunto kf bolas con coordenadas racionales (y es contable) y $B_{S_{\lambda}}$ es el conjunto de bolas $B(\bf{y}$ $,\varepsilon_{\bf{y}})$ para todos $\bf{y}$ en $S_{\lambda}$ ) tal que $\Gamma (B(r_{\phi_x},\frac{\varepsilon_{\bf{x}}}{4}))=B(\bf{x}$ $,\varepsilon)$ .

Este mapa es inyectivo cuando $r_{\phi_y}$ se mantienen fijas y, por tanto $B_{S_{\lambda}}$ es contable lo que da (por favor sugiera una buena manera, quiero decir intuitivamente me hace pensar que es correcto pero, aquí estoy en necesidad de mucha ayuda) $S_{\lambda}$

¡Muchas gracias!

Answer 1

Alrededor de cada punto aislado $x ∈ S$ es un abierto $n-ball$ $B(x)$ tal que $B(x)\cap S=\phi$ Entonces hay un $n-ball$ $A_x$ con radio racional y coordenadas centrales racionales tales que $x ∈ A_x ⊂ B(x)$ . El mapa $x\longmapsto A_x$ es una correspondencia unívoca entre los puntos aislados de $S$ y un subconjunto del conjunto contable de todos los abiertos $n-balls$ con centro y radio racionales.