¿Por qué el límite de la regla de potencia da el logaritmo natural?

Question

Para cualquier $a>0$ y cualquier número real $r \neq -1$ tenemos

$$\int_a^x t^r dt = \frac{x^{r+1}}{r+1}-\frac{a^{r+1}}{r+1}$$

Ahora no podemos enchufar $r=-1$ en la fórmula anterior, porque obtendríamos cero en el denominador. Pero podemos tomar el límite:

$$\lim_{r \rightarrow -1}\int_a^x t^r \, dt = \lim_{r \rightarrow -1}\frac{x^{r+1}-a^{r+1}}{r+1}=\ln(x)-\ln(a) = \int_a^x t^{-1} dt = \int_a^x \lim_{r \rightarrow -1} t^r \, dt$$

Mi pregunta es, ¿por qué fue posible intercambiar aquí el límite y la integral?

Es $t^r$ uniformemente convergente a $t^{-1}$ como $r$ va a $-1$ ? Esa sería una posible causa de poder intercambiar límite e integral (aunque hay otras).

Answer 1

Basta con demostrar que $f:(r,t) \mapsto \exp{(r\log{t})}$ es continua en $ [a,x] \times [-1-\varepsilon,-1+\varepsilon] $ para fijo $0<a<x$ : entonces $f$ es uniformemente continua ya que este conjunto es compacto. Por tanto, dado cualquier $\varepsilon>0$ hay uno $\delta$ para que $\lvert f(r,t)-f(r',t') \rvert<\varepsilon$ para cualquier par con $d((r,t),(r',t'))<\delta$ para, por ejemplo, la distancia euclidiana sobre el producto de intervalos.

Queremos demostrar que $f(r,t) \to f(r_0,t)$ uniformemente como $r \to r_0$ . Pero para cualquier $\varepsilon>0$ hay un único $\delta$ para que $\lvert r-r_0 \rvert=d((r,t),(r_0,t))<\delta$ implica que $\lvert f(r,t)-f(r_0,t)\rvert<\varepsilon$ para cualquier $t$ Esto es sólo una especialización de la condición de ser uniformemente continua, así que hemos terminado.

¿Por qué $f$ ¿Continuo? Es una composición de funciones continuas $$ \exp \circ \operatorname{mult} \circ (\operatorname{id},\log), $$ donde mult es la función que envía $(a,b)\mapsto ab$ .

Answer 2

Creo que aquí se puede aplicar el teorema de Arzela-Ascoli. Tome una secuencia de funciones $\{f_n\}$ con $ f_n(t) = t^{r_n} $ definido en $[a,x]$ con $ r_n \rightarrow -1 $ monótonamente. Obviamente, está uniformemente acotada. También lo están las derivadas $\{f_n'(t)\}$ lo que significa que $\{f_n\}$ es equicontinua. Debido a Arzela-Ascoli obtenemos entonces convergencia uniforme de al menos una subsecuencia de $\{f_n\}$ . Sin embargo, se debería poder demostrar fácilmente la convergencia uniforme de toda la secuencia utilizando la monotonía de los valores $\{ f_n(t) \}_{n \in \mathbb{N}} $ en cada punto $ t \in [a,x] $ .

Por lo tanto, se puede intercambiar integral y límite si se restringe a una secuencia concreta $r_n$ como arriba. La generalización a la $r$ debería ser posible explotando de nuevo las propiedades de monotonía en relación con la $r$ .

Edición: Detalles del caso continuo

Sea $r_n \rightarrow -1$ sea monótonamente decreciente y wlog $r_n<0$ . A continuación, para cada $t \in [a,x]$ , $f_n(t) = t^{r_n}$ es monótonamente creciente. Así, para un $r \in (-1,r_1)$ hay un $n$ tal que $r_n >=r >= r_{n+1} $ . Por lo tanto, obtenemos $f_n(t) > t^r > f_{n+1} $ y por lo tanto

$ \int_a^x f_n(t) dt > \int_a^x t^r dt > \int_a^x f_{n+1} dt $

lo que implica la convergencia continua para $r>-1$ . Análogamente, esto puede hacerse para $r<-1$ .