La mejor respuesta pregunta dice
Además, si $A$ es regular, entonces $AA^T$ i ya que $$x^TAA^Tx=(A^Tx)^T(A^Tx)> 0$$
Supongamos que $A$ no es regular. Sostiene que $$x^TAA^Tx=(A^Tx)^T(A^Tx)= \|A^Tx\|^2_2 \ge 0$$ Por lo tanto $AA^T$ es semidefinida positiva. ¿Es este argumento suficiente, o me estoy perdiendo algo?
No veo nada malo en su prueba. Y el resultado es cierto incluso para matrices complejas, donde considerarás el conjugado hermitiano, en lugar de la transpuesta. Esta es la base de la descomposición polar de matrices complejas.
La parte en la que consideras el caso no regular, podías haber sido más claro y decir que, o bien x pertenece a Ker(A), y entonces dará cero. O tiene una componente en el Im(A) y por tanto debe ser positiva, ya que el producto interno sobre un espacio vectorial es definido positivo.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
