¿Qué es el "ruido blanco" y qué relación tiene con el movimiento browniano?

Question

En el capítulo 1.2 de Ecuaciones diferenciales parciales estocásticas: An Introduction de Wei Liu y Michael Röckner, los autores introducen las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas considerando ecuaciones de la forma $$\frac{{\rm d}X_t}{{\rm d}t}=F\left(t,X_t,\dot B_t\right)$$ donde $\left(\dot B_t\right)_{t\ge 0}$ es un "ruido blanco en el tiempo" (signifique lo que signifique) con valores en un espacio de Hilbert separable $U$ . $\left(\dot B_t\right)_{t\ge 0}$ se dice que es la "derivada temporal generalizada de un $U$ -movimiento browniano valorado $(B_t)_{t\ge 0}$ .

Pregunta: ¿Qué quieren decir exactamente los autores? ¿Qué es un "ruido blanco en el tiempo" y por qué (y en qué sentido) es la "derivada temporal generalizada" de un movimiento browniano?

Puede saltarse lo siguiente si conoce la respuesta a estas preguntas. Presentaré lo que he averiguado hasta ahora:

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He buscado los términos "ruido blanco" y "derivada distribucional del movimiento browniano" en Internet y he encontrado pocas definiciones y poco consistentes.

Definición 1 : En el libro Introducción a las EDP estocásticas computacionales los autores hacen lo siguiente: Que $(\phi_n)_{n\in\mathbb N}$ sea una base ortonormal de $L^2([0,1])$ por ejemplo $\phi_n(t):=\sqrt 2\sin(n\pi t)$ . Entonces $$W_t:=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\phi_i(t)\xi_i\;\;\;\text{for }t\in [0,1]\;,$$ donde el $\xi_i$ son variables aleatorias independientes y normalmente distribuidas en un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ es un proceso estocástico en $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ con $\operatorname E[W_t]=0$ y $$\operatorname E[W_sW_t]=\delta(s-t)\;\;\;\text{for all }s,t\in [0,1]$$ donde $\delta$ denota el Función delta de Dirac . Llaman $(W_t)_{t\in [0,1]}$ ruido blanco .

Esta definición parece depender de la elección explícita de la base ortonormal $(\phi_n)_{n\in\mathbb N}$ y no veo la conexión con una "derivada" de un movimiento browniano (ni que decir tiene que no veo cómo esto se generalizaría a un movimiento browniano cilíndrico).

Sin embargo, tal vez tenga algo que ver con lo siguiente: Que $(B_t)_{t\ge 0}$ sea un movimiento browniano de valor real en $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ . Entonces el Teorema de Karhunen-Loève produce $$B_t=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\sqrt{\zeta_i}\phi_i(t)\xi_i\;\;\;\text{for all }t\in [0,T]$$ en $L^2(\operatorname P)$ y uniformemente en $t$ donde $(\phi_n)_{n\in\mathbb N}$ es una base ortonormal de $L^2([0,1])$ y $(\xi_n)_{n\in\mathbb N}$ es una secuencia de variables aleatorias estándar indepedientes distribuidas normalmente en $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ . En particular, $$\zeta_i=\frac 4{(2i-1)^2\pi^2}$$ y $$\phi_i(t)=\sqrt 2\sin\frac t{\sqrt{\zeta_i}}\;.$$

Los autores afirman que podemos considerar formalmente la derivada de $B$ como el proceso $$\dot B_t=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\phi_i(t)\xi_i\;.$$ No tengo ni idea de por qué.

No obstante, podemos observar lo siguiente: Sea $${\rm D}^{(\Delta t)}_t:=\frac{B_{t+\Delta t}-B_t}{\Delta t}\;\;\;\text{for }t\ge 0$$ para algunos $\Delta t>0$ . Entonces $\left({\rm D}^{(\Delta t)}_t\right)$ es un proceso estocástico en $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ con $$\operatorname E\left[{\rm D}^{(\Delta t)}_t\right]=0\;\;\;\text{for all }t\ge 0$$ y $$\operatorname{Cov}\left[{\rm D}^{(\Delta t)}_s,{\rm D}^{(\Delta t)}_t\right]=\left.\begin{cases}\displaystyle\frac{\Delta t-|s-t|}{\Delta t^2}&\text{, if }|s-t|\le \Delta t\\0&\text{, if }|s-t|\ge \Delta t\end{cases}\right\}=:\eta^{(\Delta t)}(s-t)\;\;\;\text{for all }s,t\ge 0\;.$$ Desde $$\int\eta^{(\Delta t)}(x)\;{\rm d}x=\int_{-\Delta t}^{\Delta t}\eta^{(\Delta t)}(x)\;{\rm d}x=1$$ obtenemos $$\eta^{(\Delta t)}(x)\stackrel{\Delta t\to 0}\to\delta(x)\;,$$ pero no tengo ni idea de cómo se relaciona esto con el ruido blanco.

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Definición 2 : En Ecuaciones diferenciales estocásticas con aplicaciones a la física y la ingeniería , Modelado, simulación y optimización de circuitos integrados y Funciones generalizadas - Vol 4: Aplicaciones del análisis armónico toman un movimiento browniano de valor real $(B_t)_{t\ge 0}$ en $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ y definir $$\langle W,\phi\rangle:=\int\phi(t)B_t\;{\rm d}\lambda\;\;\;\text{for }\phi\in\mathcal D:=C_c^\infty([0,\infty))\;.$$ Sea $\mathcal D'$ sea el espacio dual de $\mathcal D$ . Podemos demostrar que $W$ es un $\mathcal D'$ -valorado Gaussiano variable aleatoria en $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ es decir $$\left(\langle W,\phi_1\rangle,\ldots,\langle W,\phi_n\rangle\right)\text{ is }n\text{-dimensionally normally distributed}$$ para todas las $\phi_1,\ldots,\phi_n\in\mathcal D$ con expectativa $$\operatorname E[W](\phi):=\operatorname E\left[\langle W,\phi\rangle\right]=0\;\;\;\text{for all }\phi\in\mathcal D$$ y covarianza $$\rho[W](\phi,\psi):=\operatorname E\left[\langle W,\phi\rangle\langle W,\psi\rangle\right]=\int\int\min(s,t)\phi(s)\psi(t)\;{\rm d}\lambda(s)\;{\rm d}\lambda(t)\;\;\;\text{for all }\phi,\psi\in\mathcal D\;.$$ Además, el derivado $$\langle W',\phi\rangle:=-\langle W,\phi\rangle\;\;\;\text{for }\phi\in\mathcal D\tag 1$$ es de nuevo un $\mathcal D'$ -variable aleatoria gaussiana en $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ con expectativas $$\operatorname E[W'](\phi)=0\;\;\;\text{for all }\phi\in\mathcal D\tag 2$$ y covarianza \begin{equation} \begin{split} \varrho[W'](\phi,\psi)&=\int\int\min(s,t)\phi'(s)\psi'(t)\;{\rm d}\lambda(s)\;{\rm d}\lambda(t)\\ &=\int\int\delta(t-s)\phi(s)\psi(t)\;{\rm d}\lambda(t)\;{\rm d}\lambda(s) \end{split} \end{equation} para todos $\phi,\psi\in\mathcal D$ . Ahora llaman a un proceso estocástico gaussiano generalizado con expectativa y covarianza dadas por $(1)$ y $(2)$ a Ruido blanco gaussiano . Así, la derivada generalizada $W'$ del movimiento browniano generalizado $W$ es un ruido blanco gaussiano.

De nuevo, no sé cómo tengo que generalizar esto al caso de un movimiento browniano cilíndrico. Además, esta definición me parece menos natural y no creo que sea la noción que Liu y Röckner tenían en mente.

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Definición 3 : En algunas notas de clase, he visto lo siguiente la definición: Sea $W$ sea un proceso gaussiano centrado, indexado por funciones de prueba $\phi\in C^\infty([0,\infty]\times\mathbb R^d)$ cuya covarianza viene dada por $$\operatorname E\left[W_\phi W_\psi\right]=\int_0^\infty{\rm d}t\int_{\mathbb R^d}{\rm d}x\int_{\mathbb R^d}{\rm d}y\phi(t,x)\psi(t,x)\delta(x-y)\tag 3$$ o $$\operatorname E\left[W_\phi W_\psi\right]=\int_0^\infty{\rm d}t\int_{\mathbb R^d}{\rm d}x\phi(t,x)\psi(t,x)\tag 4\;.$$ Entonces $W$ se denomina "ruido blanco en el tiempo y ruido coloreado en el espacio" en el caso $(3)$ y "ruido blanco, tanto en el tiempo como en el espacio" en el caso $(4)$ . Simplemente afirman que $\delta$ es algún núcleo "razonable" que podría explotar hasta la inifinidad en $0$ .

Supongo que esto está relacionado con la definición 2. De nuevo, no sé cómo tengo que generalizar esto al caso de un motón browniano cilíndrico.

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Definición 4 : Esta definición es muy descuidada en su notación: Dejemos $(W_t)_t$ sea un proceso gaussiano centrado con covarianza $\operatorname E[W_sW_t]=\delta(s-t)$ donde $\delta$ denota la función delta de Dirac. Luego, en una [nota de clase] que he encontrado (Ejemplo 3.56), afirman que $$B_t:=\int_0^tW_s\;{\rm d}B_s\tag 5\;\;\;\text{for }t\ge 0$$ es un movimiento browniano de valor real. No he verificado ese resultado. ¿Es correcto? Sea como sea, si esta es la razón, por la que el ruido blanco se considera la derivada de un movimiento browniano, deberíamos poder que cada El movimiento browniano como representación de la forma $(5)$ . ¿Se puede demostrar?

Quedan las mismas preguntas anteriores.

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Definición 5 : Sea $(B_t)_{t\ge 0}$ sea un movimiento browniano de valor real en $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ y definir $$\langle W,\varphi\rangle:=\int_0^\infty\varphi(s)\;{\rm d}B_s\;\;\;\text{for }\phi\in\mathcal D:=C_c^\infty((0,\infty))\;.$$ Entonces $$\langle W',\varphi\rangle:=\int_0^\infty\varphi'(s)\;{\rm d}B_s\;\;\;\text{for }\phi\in\mathcal D$$ se considera la derivada generalizada del movimiento browniano generalizado $W$ .

Quedan las mismas preguntas anteriores.

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Conclusión : He encontrado diferentes nociones de "ruido blanco" y "derivada generalizada" de un movimiento browniano, pero no sé en qué sentido son consistentes y a cuál de ellas se referían Liu y Röckner. Así que me alegraría mucho si alguien pudiera dar una definición rigurosa de estos términos en el caso de un movimiento browniano cilíndrico o al menos en el caso de un movimiento browniano valorado en el espacio de Hilbert.

Answer 1

Soy físico, así que te daré la respuesta "sucia". Sin definiciones, teoremas ni pruebas.

Empecemos por el movimiento browniano. El movimiento browniano es la trayectoria que siguen las partículas diminutas en un fluido viscoso al ser bombardeadas por el movimiento térmico aleatorio de las moléculas del fluido. Existen dos enfoques principales de modelización. Einstein utilizó una derivación limitada de la ecuación de Fokker-Plank para demostrar que un conjunto de partículas de este tipo obedece a la ecuación de difusión. Langevin adoptó un enfoque basado en el ruido y demostró que una partícula con una pequeña cantidad de impulso impulsada por pequeños impactos no correlacionados sigue una trayectoria con una autocorrelación que decae exponencialmente.

Volviendo al ruido blanco (al final lo relacionaré todo), suponiendo homogeneidad espacial y temporal (las condiciones en el vaso infinito son las mismas en todas partes y no cambian con el tiempo), entonces los pequeños impactos en la partícula constituyen una especie de señal de ruido en el tiempo. Tal vez sean las lecturas de un contador de impactos atado a la partícula. Dado que estos impactos 1) no están correlacionados, 2) son independientes y 3) se componen de una enorme cantidad de otras colisiones que tienen lugar en el fluido entre el impacto de las partículas brownianas, su magnitud tiene una distribución gaussiana.

Si tomamos la transformada de Fourier (en la vida real, la FFT) de las señales de impacto de un gran conjunto de partículas brownianas y las promediamos, observamos que el espectro de potencia es constante en todas las frecuencias y que la potencia de una frecuencia determinada se distribuye en el conjunto como una distribución gaussiana en torno a la media. Así pues, las señales de impacto son (en promedio) una combinación de porciones iguales de todas las frecuencias, lo que llamamos ruido "blanco", como la luz compuesta de todas las frecuencias de la luz visible.

Volviendo a las partículas, su movimiento es la suma de un gran número de estos impactos de ruido blanco. Si estás dispuesto a considerar esto una integral en el tiempo, entonces sabes que el espectro de potencia de esta integral temporal será proporcional a $1/f^2$ . Este es el espectro de potencia del movimiento browniano. Si tomamos el camino inverso, a partir de la ecuación de Langevin podemos ver que el movimiento de una partícula browniana tiene una autocorrelación que decae exponencialmente. Esto corresponde a un espectro de potencia que decae como $1/f^2$ . Calculando la derivada en el espacio de frecuencias, la derivada si el movimiento browniano se parece al ruido blanco.

Nada de esto es física ni matemáticamente riguroso. Pero es el planteamiento general de modelización que se utiliza en física y en el tratamiento digital de señales. Sin embargo, estos modelos sucios son la base, e incluso podría decir razón de ser para los modelos matemáticos rigurosos. Sin embargo, siendo sucios, probablemente haya múltiples formas de definir el ruido blanco y el movimiento browniano. Así que puede ser simplemente que cuando leas el libro A o el artículo X tengas que utilizar su definición.

Answer 2

He echado un vistazo al libro y este capítulo es introductorio y algo informal, así que imagino que los autores son más específicos sobre lo que entienden por un ruido blanco en el espacio o en el tiempo y lo que entienden por el S(P)DE de tu pregunta en capítulos posteriores. No obstante, a continuación he abordado algunos aspectos de tu pregunta.

Las definiciones 2, 3 y 5 se analizan en una respuesta mía a una pregunta similar. aquí . Todo en esa respuesta es de valor real (lo que esperemos que no suponga demasiada diferencia) y está indexado por una única variable real (o más exactamente una función de prueba de una única variable real); esto puede suponer una diferencia significativa dependiendo de lo que quieras saber.

Definición 2

La distribución aleatoria que actúa sobre $\phi$ vía $(W, \phi) = \int \phi(t) B_t dt$ no es más que el movimiento browniano $B$ (es decir, podemos identificar la función $B$ con la distribución $W$ ).

Su definición de $W'$ es entonces como defino el ruido blanco (denotado $X$ ) en la respuesta enlazada anteriormente: ruido blanco $X$ se define como la distribución aleatoria que actúa sobre una función de prueba $\phi$ por $(X, \phi) = -\int_0^\infty B(t) f'(t) dt$ . En el lenguaje del libro que citas, se trata de un ruido blanco en el tiempo (el tiempo es la única variable en esa respuesta). Sin embargo, se puede generalizar esta definición a ruido blanco en el espacio y en el tiempo (véase la discusión de la definición 3 más adelante).

Definición 3

Aquí $W$ es su ruido blanco (no $W'$ como en la definición 2).

Para relacionarlo con la definición 2, establezca $d = 0$ (por lo que no hay componente espacial en el dominio de $\phi$ ). Con $X$ definido como arriba, $(X_\phi := (X, \phi) : \phi \in C^\infty([0, \infty))$ es un proceso gaussiano centrado con covarianza $E(W_\phi W_\psi) = (\phi, \psi)_{L^2}$ (por la isometría de Ito). La definición que has enunciado es una generalización al caso en que el proceso está indexado por el espacio y el tiempo (más exactamente por funciones de prueba del espacio y el tiempo).

Definición 5

Su definición de $W$ es la misma (por integración estocástica por partes) que la definición de $X$ arriba. Así, $W$ se trata una vez más de ruido blanco ( $W'$ es entonces la derivada distribucional del ruido blanco).

Definición 1

En esta definición, mientras que la realización del proceso que se obtiene de este modo depende de la elección de la base, su distribución (de probabilidad) es independiente de la base. Se puede considerar ruido blanco cualquier proceso con esta distribución.

Esta definición debe entenderse en el sentido de distribuciones (refiriéndose ahora a las distribuciones de Schwartz), ya que el ruido blanco no se define puntualmente (por lo que $W_t$ no tiene sentido). Una definición más precisa es la siguiente $W$ actúa sobre una función de prueba $\phi$ por $W_\phi := (W, \phi) = \sum_{i=1}^\infty \xi_i (\phi, \phi_i)$ . Ahora puede comprobar que $W_\phi$ tiene media $0$ y que \begin{equation} E(W_\phi W_\psi) = E\sum_{i=1}^\infty \xi_i \xi_j (\phi, \phi_i) (\psi, \phi_j) = \sum_{i=1}^\infty (\phi, \phi_i) (\psi, \phi_j) = (\phi, \psi)_{L^2}. \end{equation} Por lo tanto, lo único que hay que comprobar para ver que $W$ tiene la misma distribución que los procesos anteriores es que es gaussiana.

Answer 3

Creo que esta relación se explicó mejor en Adler y Taylor (2007, Sec. 1.4.3) :

Definición de ruido gaussiano (blanco)

Sea $(T, \mathcal{T}, \nu)$ ser un $\sigma$ -espacio de medida finita (el caso que más nos interesa es $\nu=\lambda$ para la medida de Lebesgue $\lambda$ en un dominio $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ ).

Definimos la colección de conjuntos con medida finita como $$ \mathcal{T}_\nu:= \{A\in \mathcal{T}: \nu(A) <\infty\}. $$ Entonces Gaussiano $\nu$ -ruido se define como una función aleatoria $W: \mathcal{T}_\nu\to \mathbb{R}$ (es decir, una medida aleatoria también conocida como medida de wiener) con las siguientes propiedades:

1. $W(A) \sim \mathcal{N}(0, \nu(A))$
2. $A\cap B = \emptyset \implies W(A\cap B) = W(A) + W(B)$ a.s.
3. $A\cap B = \emptyset \implies W(A)$ y $W(B)$ son independientes.

Para $\nu = \lambda$ podríamos llamarlo ruido blanco.

Relación con el movimiento browniano

Sea $T = \mathbb{R}_+$ , $\nu=\lambda$ y definir $$ B_t = W([0,t) ) = \int 1_{[0,t)} W(ds) $$ entonces $B_t$ es un movimiento browniano porque tiene todas sus propiedades (excepto la continuidad)

1. $B_t = W([0,t)) \sim \mathcal{N}(0, \lambda([0,t))) = \mathcal{N}(0,t)$
2. $B_t - B_s = W([s, t)) \sim \mathcal{N}(0, t-s)$
3. la independencia de los incrementos se deduce también directamente

Puesto que definimos el BM por integración, el ruido blanco es la derivada (en el sentido de las distribuciones - su definición 5) del BM.

Debate

"Quizá el más básico de todos los campos aleatorios sea una colección de variables aleatorias gaussianas independientes. Mientras que es sencillo construir tales campos aleatorios para conjuntos de parámetros finitos e incluso contables, profundas dificultades técnicas obstruyen la construcción para conjuntos de parámetros incontables." (Adler 2007)

Ahora bien, si simulamos ruido gaussiano, lo muestrearemos en un número finito de puntos. ¿Cómo lo representaríamos? ¿Como un gráfico de dispersión (honesto), como un gráfico (interpolación - engañoso), o con una función escalonada?

Si lo trazas con pasos, entonces trazas efectivamente evaluaciones del conjunto valorado como ruido blanco (es decir, el área bajo las barras es la evaluación de ese conjunto). Si la discretización es cada vez más fina

$\frac{W([t, t+\epsilon))}{\epsilon}$ con $\epsilon\to 0$ se obtienen cada vez más variables aleatorias normales iid.

Si intenta construir una BM, normalmente la forzará a ser continua (tomando los límites izquierdos de la construcción anterior, que podría construir utilizando el teorema de extensión de Kolmogorov). Esto no cambia la función en el sentido de las distribuciones (así que en el sentido de la Definición 5, el ruido blanco sigue siendo la derivada).