Funciones de la satisfacción de $f\left( f(x)^2+f(y) \right)=xf(x)+y$

Question

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f\left( f(x)^2+f(y) \right)=xf(x)+y$ para todos los números reales $x$$y$.

Claramente $f(x)=x$ es una solución, compruebe por sustitución.

Estoy en una pérdida en cuanto a cómo mostrar este es el único o encontrar otros.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

@zyx soy un invitado aquí, yo entiendo que todos los de su prueba, pero quisiera saber como se demostró $f$ a ser inyectiva y surjective. Agradecería una explicación. :-)

Answer 2

los lemas en el orden en que se dieron, todo fácil:

$f$ es inyectiva

$f$ es surjective

$f(f(y)=y$ (deje $f(x)=0$)

$f(-x)=-f(x)$ para un valor distinto de cero $f(x)$ ($f$ es extraño)

$f(0)=0$ por bijectivity y rareza

$f(f(x)^2)=xf(x)$ de los que tomaron $y=0$

$f(u^2)=uf(u)$ tomando $x=f(u)$

$f(f(x)^2 + xf(x)) = xf(x) + x^2$ , (te $y=x^2$)

$f(x)^2=x^2$ (aplican $f$ a ambos lados de la anterior +inyectividad)

$f(x) = \pm x$

Vemos ahora que el $f(x)=-x$ es también una solución. Deje $f(x) = s(x)x$$|s|=1$. Nota: $s(-x)=s(x)$

Tomando $x$ con $x^2 > |y|$, $s(x)s(y)=1$ ($x$ establece el signo de cada lado, y luego comparar el $y$ términos), de modo que $s(x)=s(y)$. También se $s(x^2)=s(x)$ cero $x$$f(x^2)=xf(x)$.

Iterando este, la señal es constante en $|x|>1$ y en $|x|<1$. Usted puede comprobar mediante el cálculo de si hay una solución con el signo elegido de manera diferente en estos intervalos.