En la enseñanza de la física a menudo se plantean "problemas del mundo real" con el movimiento de proyectiles. La mayoría de las veces, en los cursos introductorios no se tiene en cuenta la resistencia del aire. Pero ¿cómo pueden los estudiantes (que no saben nada sobre números de Reynolds, etc.) ver si es realmente despreciable en el problema actual o no? Un procedimiento posible sería el siguiente Calcular la velocidad máxima $v_{\mathrm{max}}$ del proyectil en el problema despreciando simplemente la resistencia del aire. Luego calcula la fuerza máxima de arrastre del aire, que actuaría a esta velocidad $F_{\mathrm{Drag,max}} = k \cdot v_{\mathrm{max}}$ para obtener un límite superior de la fuerza máxima real de arrastre del aire que verías si resolvieras el problema incluyendo el arrastre del aire. Luego compara $F_{\mathrm{Drag,max}}$ a la fuerza de gravedad $F_{\mathrm{G}}$ (comparar aquí 3.2 para un enfoque similar pero más burdo), es decir, observar el cociente $q = \frac{F_{\mathrm{Drag,max}}}{F_{\mathrm{G}}}$ . Si $q$ es pequeño concluirías que puedes descuidarlo. "Pequeño" se define principalmente por la precisión con la que quieres resolver el problema (ten en cuenta que si mides algo en física tienes errores de medición). Así, por ejemplo, si dices que el 1% de precisión es suficiente para el problema, podrías decir que la resistencia del aire es despreciable si $q < 1\%$ .
Edita:
Cuál sería una forma razonable de convertir esta idea en un teorema matemático y cómo demostrarlo.
En particular, es necesario encontrar una definición razonable de lo que significa "insignificante" en este contexto en función de $q$ . Sugerí (ver más abajo) una forma de expresar esto matemáticamente, pero como David K. señaló en su respuesta, esto no funcionaría. Quizá haya que incluir una escala temporal o espacial del problema (definida por cuándo o dónde impacta el proyectil contra el suelo).
<p><strong>Versión antigua del resto de la pregunta</strong></p><p>¿Es correcto este procedimiento desde el punto de vista matemático? Es decir, que el movimiento del proyectil comience en el tiempo <span class="math-container">$t = 0$</span> y termina a la hora <span class="math-container">$t{\mathrm{F}} > 0$</span> (ahí es donde toca el suelo). ¿Es entonces cierto que</p><p><span class="math-container">$$\frac{|\vec{r}(t) - \vec{r}{\mathrm{Drag}}(t)|}{|\vec{r}(t)|} \leq q$$</span> y</p><p><span class="math-container">$$\frac{|\vec{r}(t) - \vec{r}{\mathrm{Drag}}(t)|}{|\vec{r}{\mathrm{Drag}}(t)|} \leq q$$</span> para todos <span class="math-container">$t \in [0;t{\mathrm{F}}]$</span> donde <span class="math-container">$\vec{r}(t) \in \mathbb{R}^3$</span> indica la posición en el momento <span class="math-container">$t$</span> del proyectil si se calcula sin la resistencia del aire, <span class="math-container">$\vec{r}{\mathrm{Drag}}(t) \in \mathbb{R}^3$</span> la posición en el momento <span class="math-container">$t$</span> si se calcula incluyendo la resistencia del aire y <span class="math-container">$|\cdot|$</span> denota la norma euclidiana. En otras palabras: ¿es cierto que la posición que se obtiene despreciando la resistencia del aire difiere al máximo en <span class="math-container">$100 q \,\%$</span> .</p><p>Para plantear el problema de forma más matemática, considere la siguiente EDO:</p><p><span class="math-container">$$ m \cdot \ddot {\vec{r}{k}} = m \cdot \vec{g} - k \cdot |\dot {\vec{r}{k}}| \cdot \dot {\vec{r}_k} $$</span></p><p>Con la condición de que <span class="math-container">$\dot {\vec{r}_k}(0) = \vec{v}_0 \in \mathbb{R}^3$</span> , <span class="math-container">$\vec{r}k(0) = \vec{r}{k,i} \in \mathbb{R}^3$</span> , <span class="math-container">$k > 0$</span> (determina la fuerza del arrastre, <span class="math-container">$k = 0$</span> sin arrastre) y <span class="math-container">$\vec{g} = (0,0,-g)$</span> con <span class="math-container">$g > 0$</span> así como <span class="math-container">$m > 0$</span> (físicamente la masa del proyectil). Además, supongamos que la tercera componente de <span class="math-container">$\vec{r}{k,i}$</span> es positivo (es decir, que la partícula comienza por encima del suelo) y que <span class="math-container">$t{k,\mathrm{F}}$</span> es el más pequeño <span class="math-container">$t > 0$</span> donde <span class="math-container">$\vec{r}_k(t) = 0$</span> .</p><p>La solución <span class="math-container">$\vec{r}k\colon [0;t{k,\mathrm{F}}] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$</span> puede suponerse <span class="math-container">$C^{\infty}$</span> .</p><p>Entonces <span class="math-container">$v_{0,\mathrm{max}} := \mathrm{max} {|\dot {\vec{r}0}(t)| \mid t \in [0;t{\mathrm{0,F}}] }$</span> y <span class="math-container">$q := \frac{k\cdot v_{0,\mathrm{max}}^2}{m\cdot g}$</span> .</p><p>¿Es cierto que <span class="math-container">$$ \frac{|\vec{r}_0(t) - \vec{r}_k(t)|}{|\vec{r}j(t)|} \leq q $$</span> donde <span class="math-container">$j \in {0;k}$</span> para todos <span class="math-container">$t \in [0;\mathrm{min}{t{0,\mathrm{F}},t_{k,\mathrm{F}}}]$</span> .</p><p>Si es así, ¿cómo probarlo?. Si no es así, ¿cuál sería un contraejemplo y cómo podría modificarse la proposición para obtener una línea de razonamiento similar para el físico a la descrita anteriormente?</p>
