Can't Prove formula de Sakurai's Modern QM @ Teoría de la Perturbación

Question

Estoy estudiando la Teoría de Perturbaciones del libro de texto Mecánica Cuántica Moderna de J.J. Sakurai. Estoy teniendo problemas para demostrar las fórmulas de la página 299 (5.2.5) y (5.2.6) a partir de las anteriores [principalmente (5.2.4)]. ¿Alguien puede ayudarme?

Este es un problema de trabajar con teoría de perturbaciones cuando el estado no perturbado tiene degeneración. No entiendo por qué $(E-H_0-\lambda P_1VP_1)$ no es singular.

Y lo que es más importante, ¿es correcta la ecuación siguiente y, en caso afirmativo, por qué?

$$(E-\lambda P_1VP_1)|l \rangle = E_D^{(0)}|l \rangle $$

Ese es el núcleo de mi problema. Si la ecuación anterior -en el marco del planteamiento del problema de Sakurai- es correcta, puedo resolver el resto por mi cuenta. Sin embargo, no entiendo por qué esta ecuación es correcta.

Answer 1

Creo que hay un error tipográfico. En la línea que sigue a (5.2.4), la expresión

$$P_1(E - H_0 - \lambda P_1 V P_1)$$

debe desplazarse el segundo paréntesis para que diga

$$P_1(E - H_0 - \lambda P_1 V) P_1$$

que equivale a

$$E P_1 - P_1 H_0 P_1 - \lambda P_1 V P_1$$

Decir que esto no es singular es lo mismo que decir que no asigna nada a cero. No lo hace, por la razón que dice el texto: $E$ y los valores propios de $P_1 H_0 P_1$ no pueden ser iguales, ya que $E$ no es más que el valor perturbado de $E_0$ mientras que $H_0$ actúa sobre estados ortogonales al subespacio $\{|m^{(0)}\rangle\}$ .

Answer 2

La ecuación tal y como usted la plantea $E- \lambda P_1 V P_1 |l\rangle = E^{(0)}_D |l\rangle $ me parece correcto. Esto es así porque $\lambda$ es pequeño. Por lo tanto, $E$ es una pequeña desviación de las energías no perturbadas en el subespacio degenerado, es decir $E_D^{(0)}$ . Así que en el límite $\lambda \rightarrow 0$ se aproximan a los dos límites siguientes: $E \rightarrow$ $E_D^{(0)}$ y $\lambda P_1 V P_1 \rightarrow 0$ .

BTW @Mark Eichenlaub, no creo que haya ningún error tipográfico en el libro (como sugieres), principalmente porque no he encontrado ninguna afirmación/ecuación errónea en el libro. Si has encontrado alguna, por favor, indícalo.