Probar que una secuencia definida recursivamente converge, método de Newton

Question

Una secuencia se define recursivamente de la siguiente manera:

$$ x_0 = 2, x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 -3}{2x_n}, n = 0, 1, 2, ...$$

Demuestra que la secuencia converge. ¿A qué converge la sucesión?

Dado que la secuencia es básicamente el método de Newton para la función $f(x) = x^2 -3$ la secuencia debe converger a $\sqrt3$ o - $\sqrt3$ pero no estoy seguro de cuál de ellos. He intentado demostrar que la secuencia converge utilizando la inducción matemática, pero eso no me ha llevado a ninguna parte.

Answer 1

Escriba su término en el formulario $$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{3}{x_n}\right)$$ y por $AM-GM$ obtenemos $$\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{3}{x_n}\right)\geq \sqrt{3}$$

Answer 2

¿Puede demostrar que $x_n>0$ implica $x_{n+1}>0$ para descartar límites negativos para $x_n$ ?

Answer 3

Tenga en cuenta que si $x_{n+1} =\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right) $ entonces $x_{n+1}-\sqrt{a} =\frac{1}{2}\left(x_n-2\sqrt{a}+\frac{a}{x_n}\right) =\frac1{2\sqrt{x_n}}(x_n-\sqrt a)^2 $ para que una vez $x_n$ está lo suficientemente cerca de $\sqrt a$ , la secuencia convergerá.