Cómo solucionar $z^3 + \overline z = 0$

Question

Necesito solucionar esto:

$$z^3 + \overline z = 0$$

how should I manage the 0?

I know that a complex number is in this form: z = a + ib so:

$$z^3 = \rho^3\lbrace \cos(3\theta) + i \sin (3\theta)\rbrace$$ $$\overline z = \rho\lbrace \cos(-\theta) + i \sin (-\theta)\rbrace$$ pero ¿qué hay de la 0?

EDITAR:
ok, siguiendo algunos de sus comentarios/respuestas esto es lo que he hecho:

$$z^3 = - \overline z$$ $$\rho^3\lbrace \cos(3\theta) + i \sin (3\theta)\rbrace = \rho\lbrace \cos(-\theta) + i \sin (-\theta)\rbrace$$

Así $$ \begin{Bmatrix} \rho^3 = \rho\\ 3\theta = -\theta + 2k\pi \end{Bmatrix}$$ $$ \begin{Bmatrix} \rho^3 = \rho\\ 2\theta = 2k\pi \end{Bmatrix}$$

$$ \begin{Bmatrix} \rho = 0 or \rho = 1\\ \theta = k\frac{\pi}{2} \end{Bmatrix}$$

es este el camino correcto?

Answer 1

$$z^3+\bar z=0 \Rightarrow z^3=-\bar z$$ Tomando valores absolutos en bot lados de obtener $$|z|^3=|\bar{z}|=|z|$$ por lo tanto $|z|=0$ o $|z|=1$.

Caso 1: $|z|=0 \Rightarrow z=0$.

Caso 2 $|z|=1$. Multiplicar la ecuación original por $z$ y el uso de $z \bar{z}=1$. De este modo se obtiene $$z^4=-1$$ que es fácil de resolver en trigonometría forma. Recuerde que $r=1$, con lo que su $z=\cos(\theta)+i \sin(\theta)$.

Answer 2

Continuar lo que empecé:

$$\rho^3 e^{3i\theta}+\rho e^{-i\theta}=0$$

$$\rho^2=-e^{-4i\theta}$$ Como $\rho$ es positivo y real, y la exponencial de un imaginario argumento es sobre un círculo unidad, usted sabe que la única solución es $\rho=1$ $e^{-4i\theta}=-1$ significado $$\theta\in\lbrace \pm\pi/4, \pm 3\pi/4 \rbrace$$

De vuelta en la forma cartesiana de obtener la solución obvia $z=0$ ( $\rho=0$ ), y también $$z=\pm \frac{\sqrt2}{2}\pm \frac{\sqrt2}{2}i$$

Answer 3

$z=0$ es una solución obvia.

Luego multiplicando por $z$,

$$z^3=-\bar z\implies z^4=-|z|^2.$$ Tomando el módulo, $|z|^4=|z^2|=1$ $z$ es una raíz cuarta de $-1$.

Answer 4

$$z^3+\overline z=0$$

Pero $z=a+bi$, $\overline z = a-bi$ así:

$$(a+bi)^3+a-bi=a^3-3ab^2+3a^2bi-b^3i+a-bi=i(3a^2b-b^3-b)+(a^3-3ab^2+a)$$

Sabemos que $a+bi=0 \iff a=0 \land b=0$:

$$\begin{cases} 3a^2b-b^3-b=0\\ a^3-3ab^2+a=0 \end{casos}$$

$$\begin{cases} 3a^2-b^2-1=0\\ a^2-3b^2+1=0 \end{casos}$$

$$a^2=3b^2-1 \implies 3a^2-b^2-1=9b^2-3-b^2-1=8b^2-4=0 \implies b=\pm\frac{\sqrt2}{2}$$ $$a^2=3b^2-1=1.5-1=0.5\implies a=b=\pm\frac{\sqrt2}{2}$$

Así que, finalmente:

$$z=\frac{\sqrt2}{2}\pm\frac{\sqrt2}{2}i$$ o $$z=-\frac{\sqrt2}{2}\pm\frac{\sqrt2}{2}i$$

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Para ser claros pueden haber otras soluciones. He dividido mi ecuaciones por $a$$b$, pero cada uno de ellos puede ser igual a $0$.

1. $a=0$ $b^3+b=0$
   • $b=0$ OK
   • $b\not=0$ $b^2+1=0$ $b\not\in \mathbb{R}$ (pero es una contradicción)
2. $b=0$ $a^3+a=0$ , igual que el anterior, sólo $(a;b)=(0;0)$ es válido.

La otra solución es, a continuación, $$z=0$$

Answer 5

Por qué no simplemente usar $z= a +ib$, por lo que se obtiene:

$$a - ib + a^3 + 3(ib)(a^2) - 3(a)(b^2) - ib^3 = 0$$

Si es igual a $0$, en tanto las partes reales e imaginarias son iguales a $0$, así:

$$\text{Real:} \quad a+a^3-3ab^2 = 0$$

y

$$\text{Imaginary:} \quad 3a^2b - b - b^3 = 0$$

Es bastante fácil de aquí en adelante. Hay un número de maneras de resolver esto: usted puede hacer igual para cada uno, otros, resolverlos por separado para las variables, etc.