Aritmética de Peano con el axioma de inducción de segundo orden

Question

Estoy en pleno doctorado e intento reforzar mis conocimientos de matemáticas estudiando los fundamentos del Análisis. La primera tarea es obtener las bases de los números naturales. Para ello elegí los axiomas ZFC que dan la consistencia de los axiomas PA. Mi primera pregunta está relacionada con la completitud.
1) ¿La incompletitud de PA implica la incompletitud de PA con el axioma de inducción de segundo orden? (Teniendo en cuenta que el teorema de incompletitud sólo se refiere a PA en la versión de primer orden). Me gusta mucho la PA con el axioma de inducción de segundo orden porque es categórica y nos permite definir suma, multiplicación y exponenciación.

2)Parece que una vez que hemos definido los números naturales usando ZFC y PA podemos construir enteros, racionales, reales y complejos sin ningún otro axioma. ¿o no?

3)Para los fundamentos de la topología y los espacios vectoriales, ¿qué tipo de axiomas necesitamos?

Answer 1

Hay que hacer una distinción importante. El axioma de inducción de segundo orden es sólo eso: un axioma. Puede interpretarse de varias maneras.

En aritmética normal de segundo orden, $Z_2$ tenemos el axioma habitual de inducción de segundo orden $$ (\forall X)\big [(0 \in X \land (\forall n)[n \in X \to n+1\in X]) \to (\forall n)[n \in X]\big ] $$ Pero $Z_2$ suele estudiarse con semántica de primer orden, y en ese contexto es una teoría efectiva de la aritmética sujeta a los teoremas de incompletitud. En particular, $Z_2$ incluye cada axioma de PA, e incluye el axioma de inducción de segundo orden, y aún así está incompleta.

Por lo tanto, la conocida prueba de categoricidad no debe basarse únicamente en el axioma de inducción de segundo orden. También se basa en un cambio a un axioma totalmente diferente semántica aparte de la elección de los axiomas. Sólo en el contexto de estas semánticas especiales "completas" la AP con el axioma de inducción de segundo orden se vuelve categórica.

Ahora, si fijamos un sistema deductivo sólido para $Z_2$ el cambio de semántica no afecta en absoluto a las fórmulas demostrables. Por tanto, aunque $Z_2$ con semántica completa de segundo orden es categórica, para cualquier sistema deductivo efectivo sólido aún existen fórmulas verdaderas de $Z_2$ que no son ni demostrables ni refutables en ese sistema.

Esto responde a una pregunta en los comentarios: "¿Cómo puede ser incompleta una teoría categórica?". La respuesta es que la categoricidad viene determinada tanto por la elección de los axiomas como por la elección de la semántica, mientras que la completitud en este sentido viene determinada por los axiomas y la elección de un sistema deductivo. (Aquí "completo" significa que el conjunto de teoremas demostrables es un conjunto consistente máximo). No hay ninguna razón por la que, en un entorno general, la categoricidad deba implicar la completitud. De hecho, no es así.

Independientemente de la semántica que queramos utilizar, es sencillamente imposible -por los teoremas de incompletitud- dar con ningún sistema deductivo eficaz que extienda PA y sea completo en el sentido del párrafo anterior. Pasar a sistemas de orden superior nos ayuda a demostrar proposiciones verdaderas adicionales sobre los números naturales, pero nunca podremos encontrar un sistema deductivo que las demuestre todas.

Answer 2

Puede encontrar la respuesta a su pregunta 1) en "An Introduction to Godel's Theorems", de Peter Smith. Debería estar en el capítulo 17 o 21, dependiendo de tu edición (busca el axioma de inducción en el índice).

Para 2), necesitas algún tipo de estructura de clases de equivalencia en tu semántica para definir los números racionales de forma rigurosa. ¿Le interesan los axiomas mínimos necesarios para generar una estructura aritmética de máxima complejidad? Si es así, quizá le interese el jerarquía aritmética y temas relacionados.

Para 3), existen interesantes caracterizaciones de espacios topológicos con semántica modal (utilizando operadores de posibilidad y necesidad para definir condiciones cerradas y abiertas). Consulte "Modal Logic for Open Minds" de Johan van Benthem, que tiene un capítulo sobre la definición de topología con lógica modal, y hay temas relacionados sobre espacios lineales, lógica lineal, etc.