¿Cómo puede una simple situación física dar lugar a dos posibles resultados diferentes?

Question

Un objeto de masa $5\, \mathrm{kg}$ se proyecta con una velocidad $20\, \mathrm{ms}^{-1}$ en ángulo $60^{\circ}$ a la horizontal. En el punto más alto de su trayectoria, el proyectil explota y se rompe en dos fragmentos de masas $1\, \mathrm{kg}$ y $4\, \mathrm{kg}$ . Los fragmentos se separan horizontalmente tras la explosión, que libera energía interna tal que la energía cinética ( $\text{KE}$ ) del sistema en el punto más alto se duplica. ¿Cuál es la separación de los dos fragmentos cuando llegan al suelo?

En este problema, el montaje es bastante sencillo. Sea $v_1$ sea la velocidad del $4\,\mathrm{kg}$ masa y $v_2$ sea la velocidad del $1\,\mathrm{kg}$ masa. El momento inicial a lo largo del $x$ eje es $5\cdot10\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$

Aplicando la conservación del momento a lo largo del $x$ eje: $$50= 4v_1+v_2 \tag1$$ $\text{KE}_i$ = $250J$ . El doble de esto equivale al $\text{KE}$ . Así que $$2(250)=\frac{4v_1^2}{2} + \frac{v_2^2}{2} \tag2$$

Resolver ecuaciones $(1)$ y $(2)$ obtenemos dos conjuntos diferentes de respuestas: $$v_1=5\, \mathrm m/\mathrm s \qquad v_2=30\,\mathrm m/\mathrm s$$ o $$v_1=15\, \mathrm m/\mathrm s \qquad v_2=-10\, \mathrm m/\mathrm s$$

Mi pregunta es que de estas dos posibles respuestas cual debe ocurrir ya que ambas masas pueden tomar cualquier velocidad por lo que uno de los casos debe surgir. La separación resulta ser la misma en ambos casos ya que $|v_1- v_2|$ es el mismo en ambos casos.

Si de alguna manera esto se puede probar físicamente, (en condiciones ideales sin resistencia del aire ni giro de las bolas) ¿qué observaremos en la naturaleza en múltiples intentos? ¿Sucederá cada vez alguna de las dos cosas?
¿Cómo podemos saber con certeza qué exactamente va a pasar aquí?

Answer 1

Los dos resultados que obtuvo son absolutamente aceptables tanto matemática como experimentalmente y cualquiera de ellas puede ocurrir si se hace el experimento ( pero no es aleatorio ) prácticamente con todas las situaciones similares a la planteada en la pregunta.

¿Por qué no es aleatorio?

Porque el resultado depende (con certeza) de la disposición del trozo de masa $4\; kg$ y el de masa $1\; kg$ cuando eran un solo cuerpo justo antes de explotar.

Considera el diagrama. Supongamos que inicialmente fuera una esfera (y he mostrado una línea discontinua en las figuras siguientes para indicar los puntos en los que se separan).

Ahora, en experimentos prácticos, obtendrás tu primer conjunto de valores si las masas justo antes de la explosión se disponen como se muestra en la figura

Y el segundo conjunto de valores corresponde a la situación cuando las masas están dispuestas de esta manera :-

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Así que en experimentos prácticos, qué conjunto de valores obtenemos dependen de la posición de las piezas (justo antes de la explosión) dentro de la esfera principal . Pero no es aleatorio.

Answer 2

Qué encantador enigma.

Me temo que la solución es bastante sencilla. No has especificado en tus cálculos si la masa de 4 kg fue expulsada en la dirección de la velocidad inicial de la masa de 5 kg y la de 1 kg en la dirección opuesta, o viceversa. Los diferentes pares de soluciones corresponden a los dos casos diferentes.

No es culpa tuya no haber especificado qué caso estabas considerando. Tampoco lo hacía la pregunta. La pregunta ni siquiera decía que los fragmentos se emitieran paralelos y/o antiparalelos a la velocidad inicial.

¿Importa realmente que los fragmentos se emitan con componentes de velocidad "laterales"? Como usted dice, la pregunta sólo se refería a la separación de los fragmentos cuando llegan al suelo. Tal vez debería investigar esto.

También puedes intentar trabajar en un sistema de referencia que se mueva con respecto al suelo con la velocidad horizontal inicial del objeto (es decir, en el sistema de referencia en el que el momento total es cero, el llamado "sistema CM"). En este marco CM los fragmentos tienen una energía total de 250 J debida únicamente a la explosión, y sus momentos son iguales y opuestos. La vida es muy fácil.

Answer 3

Perspectiva matemática

El sistema que intenta resolver es

$$ \begin{align} m_1v_1+m_2 v_2&=(m_1+m_2)u\tag{1}\\ m_1v_1^2/2+m_2v_2^2/2&=(m_1+m_2)u^2/2+\Delta E\tag{2}\\ \end{align} $$

donde $v_i$ es la velocidad final de la masa $m_i$ y $u$ es la velocidad inicial de las masas combinadas. $\Delta E$ tiene en cuenta la energía extra de la colisión (aquí igual a $(m_1+m_2)u^2/2$ ).

Consideremos el mismo sistema en el marco preparado de la COM:

$$ \begin{align} m_1v'_1+m_2 v'_2&=0\tag{3}\\ m_1{v_1'}^2/2+m_2{v_2'}^2/2&=\Delta E\tag{4}\\ \end{align} $$

Para este sistema, es evidente que si $(v'_1,v'_2)$ es una solución también lo es $-(v'_1,v'_2)$ . Esta es la razón por la que se obtienen dos soluciones. Volviendo a nuestro marco original esto significa que $u\pm(v'_1,v'_2)$ son soluciones aceptables.

¿Es la negación de las velocidades el único tipo de transformación que no modifica las ecuaciones COM? Observa que las ecuaciones COM pueden reescribirse en forma vectorial como

$$ \begin{align} m_1\mathbf{v'_1}+m_2 \mathbf{v'_2}&=0\tag{5}\\ m_1\mathbf{{v'_1}^T}\mathbf{v'_1}/2+m_2\mathbf{{v'_2}^T}\mathbf{v'_2}/2&=\Delta E\tag{6}\\ \end{align} $$

donde $\mathbf{v^T}$ denota el vector transpuesto $\mathbf{v}$ . De esta forma, cualquier transformación

$$\mathbf{v}\to \mathbf{w}=O\mathbf{v}\tag{7}$$ donde $O$ es una matriz ortogonal también funciona. En otras palabras, si $\mathbf{u}+\mathbf{v'_i}$ es una solución, también lo es $\mathbf{u}+O\mathbf{v'_i}$ .

Perspectiva física

¿Qué significa esto físicamente? Significa que mientras la dirección de las velocidades de las dos masas expulsadas permanezcan opuestas entre sí, esa dirección puede ser arbitraria. La matriz de transformación $O$ representa la rotación o inversión de esta dirección.

En $1D$ esta degeneración se refleja en la forma de la (única posibilidad) inversión de dirección de ahí las dos soluciones.

En dimensiones superiores, además son posibles las rotaciones, por lo que habría un número infinito de soluciones, todas ellas rotaciones unas de otras.

¿Qué ocurriría en un experimento real?

Incluso sin tener en cuenta el caos y la no linealidad de un proceso tan violento como una explosión, ningún cuerpo del mundo real es perfectamente homogéneo e isótropo, por ejemplo, grietas microscópicas, astillamientos, cavidades, etc. En consecuencia, no todas las direcciones de las masas expulsadas son equivalentes y, en mi opinión, el sistema se fisurará por el camino de menor resistencia.

¿Se reproduciría perfectamente la dirección en sucesivas repeticiones de la exp.? Es muy poco probable. Incluso en teoría, es básicamente imposible predecir cada detalle microscópico de un fenómeno tan caótico. Por lo general, esto se modelaría utilizando la estadística: en lugar de predecir la dirección exacta en la que se moverían los proyectiles hijos en cada ensayo, se predeciría la probabilidad de las direcciones.

¿Qué pasaría en un experimento mental?

Es imposible predecir en qué dirección irán las masas expulsadas sin una modelización más detallada de la dinámica de la fisión (incluso eso puede no ser suficiente). Con nuestro nivel actual de modelización, todo lo que podemos decir es que el sistema rompería espontáneamente la simetría y elegiría una de las direcciones. Como ya se ha señalado, en el mundo real la simetría es sólo aproximada.

Sobre el tema de los sistemas físicos simples que dan lugar a múltiples resultados

Esto puede sorprender al principio. Aunque la mecánica newtoniana es determinista, sólo es tan buena como el modelo de la naturaleza en el que la utilizamos. Si nuestro modelo es aproximado en el sentido de que puede no estar captando detalles más finos de un sistema, a veces las soluciones predichas muestran multitud.

Por ejemplo, en su mencionada numérica, si además se hubiera afirmado que el proyectil hija, más voluminoso, cayó por delante de la masa original, habríamos rechazado en consecuencia uno de los valores del par de velocidades.

Los conocimientos adicionales sobre un sistema ayudan a reducir el espacio posible de soluciones.

Hay muchos ejemplos de este tipo en física.

• Consideremos un proyectil que cae libremente en una parábola. Dada una altura, ¿en qué momentos alcanza el proyectil esa altura? También en este caso hay dos soluciones temporales. Sin embargo, en este caso nuestro modelo dispone del conocimiento adicional necesario para reducir (o no) este espacio: la altura y la velocidad iniciales.

• Otro ejemplo similar y sencillo es el pandeo de una varilla vertical sometida a un esfuerzo axial. El plano en el que la barra se dobla no puede predecirse de antemano a menos que se incluyan en nuestro modelo imperfecciones que romperían su simetría axial.

• Un caso importante en el que un sistema presentaba inicialmente múltiples soluciones, pero con un modelado más detallado y preciso, sólo una se reveló finalmente como la "verdadera" solución fue el caso del estado básico cuántico del átomo de hidrógeno.

• Por el contrario, con mejores modelos, a veces podemos descubrir más soluciones al problema original de lo que se pensaba. En ocasiones, esto puede dar lugar a predicciones espectaculares que preceden a los descubrimientos experimentales, además de conducir a nuevos conocimientos. Algunos ejemplos de estas soluciones adicionales son el descubrimiento del positrón, el túnel cuántico y las ondas de compresión lenta en medios porosos.

• Consideremos el caso de $2D$ colisión elástica de dos masas puntuales. A menos que también se dé la orientación relativa de las masas en el momento de la colisión, el sistema ni siquiera es resoluble. Por tanto, la modelización de una colisión de este tipo con masas puntuales falla, mientras que con objetos de extensión finita no. Esto demuestra el efecto de las suposiciones del modelo sobre la solubilidad y la naturaleza de las soluciones.

Answer 4

Para ampliar mi comentario. Dado que la pregunta es bastante ambigua también existe el interesante escenario en el que los fragmentos vuelan en el eje z (ver imagen). Creo que la única razón de la información de que los fragmentos vuelan "horizontalmente" es que no necesitamos tener en cuenta la pérdida o ganancia de GPE. Pero la dirección de la trayectoria horizontal no está especificada, lo que significa que podría estar en el eje x, lo que daría dos soluciones igualmente válidas, como has podido comprobar y como muy bien ha explicado Ankit. Pero también podría ser en el eje z nota que también aquí sería dos soluciones válidas $v_{1}\approx -7\rm ms^{-1}$ o $v_{1}\approx 7\rm ms^{-1}$ . Y esta es la misma razón que explicó Ankit, depende de la orientación de la explosión.

Nótese también que podría ser cualquier dirección arbitraria en el plano zx y siempre daría dos soluciones.

Answer 5

Los únicos añadidos que no se cubren completamente en otras respuestas son:

1. Como mencionó Stilez, y como era de esperar, funciona en cualquier dirección horizontal en cualquier ángulo desde el $\mathrm{5kg}$ la velocidad horizontal del objeto, no sólo paralela y antiparalela a su velocidad, como también sugiere la discusión en la respuesta de @ludz. Las matemáticas están por debajo.

Y, para volver a insistir en esto:

2. Los dos valores de solución para $v_1$ y los dos para $v_2$ se centran alrededor de 10, es decir, alrededor de $v_i$ . La masa de 4kg va hacia atrás relativamente a 5 (a velocidad 10-5=5) o hacia delante relativamente a 5 (a 10+5=15). Y la de 1kg relativamente a +/- 20 (a 10 +/- 20).

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Sea $y$ ser dirección vertical, $_i$ indica justo antes de la explosión y $_f$ significa después:

$m_1=4kg, m_2=1kg, m_{i}=5kg,$

$v_{xi}=5m/s, v_{zi}=0$

Para cualquier ángulo de explosión $\theta$ :

$v_{1x}= 10 + 5\sin({\theta})$

$v_{1z}= 5\cos(\theta)$

$v_{2x}= 10 - 20\sin(\theta)$

$v_{2z}= -20\cos(\theta)$

$$mv_{tot x}= m_1v_{1x} + m_2v_{2x}=(40+10)+(20\sin\theta-20\sin\theta)=50=m_iv_{xi}$$

$mv_{tot z}= m_1v_{1z} + m_2v_{2z} = 20\cos\theta - 20\cos\theta = 0$

$KE_f=\frac{ [m_1|v_1|^2 + m_2|v_2|^2]} {2}$

$= \frac{m_1 [(10 + 5\sin\theta)^2+ (5\cos\theta)^2] }{2} +\frac{ m_2 [(10 - 20\sin\theta)^2+ (-20\cos\theta)^2] }{2}$

$= \frac{[400+ 100(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+ 400\sin\theta]}{2}+ \frac{[100+ 400(1)-400\sin\theta]}{2}$

$=500 = KE_i$

Dado que esto es para todo theta $0$ a $2\pi$ en cada ángulo de $0$ a $180^O$ cubre $m_1$ y $m_2$ separándose en ambos sentidos.