Expectativa de una función multivariante de variables aleatorias

Question

¿Cómo definiría una variable aleatoria que es:

• Algún valor aleatorio (distribución uniforme) si la magnitud de la diferencia de los parámetros es superior a algún umbral. $t$
• En caso contrario, la variable aleatoria toma el valor del primer parámetro

Estoy pensando en algo así:

$$ g(x,y) = \left\{ \begin{array}{l l} x & \quad |x-y| < t\\ \text{Random real between $0$ and $N$} & \quad |x-y|>t \end{array} \right. $$

Pero no tengo ni idea de cómo utilizar realmente esta función, por ejemplo, quiero calcular la expectativa de $g(X,Y)$ pero no encuentro la manera de hacerlo con mi definición actual. Realmente mi pregunta es si es posible evaluar esta integral dada mi definición de $g(X,Y)$ : $$ E[g(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty g(x,y)f_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y $$

donde $f_{X,Y}(x,y)$ es la FDP conjunta de dos variables aleatorias continuas $X$ y $Y$ .

Agradeceríamos cualquier sugerencia o recomendación.

Answer 1

Después de pensar un poco más en la integral, creo que quizá haya que dividirla en tres partes.

$$ E[g(X,Y)]=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}g(x,y)f_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\= \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{y-t}^{y+t}xf_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y + \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{y+t}^{\infty}Cf_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y + \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{y-t}Cf_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y $$

La primera integral se justifica por el hecho de que $g(x,y)$ toma el valor x en el área comprendida entre las líneas $y-t$ y $y+t$ y algún valor aleatorio C con PDF $f_C(x)=1/N$ en todas partes.