Encontrar las intersecciones de dos cónicas

Question

[Alcance del nivel: Álgebra abstracta de pregrado].

Este fue un tema extra que tratamos muy poco, así que no sé muy bien cómo hacerlo. De las notas que nos dieron se considera que los cuádricos a ser degenerados que luego se puede expresar como factores de polinomios lineales a continuación, resolver por separado.

Si dos formas cuadráticas $P = Q = 0$ (de la forma $ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx +2ey + f$ ) no son degenerados, entonces se construye un sistema equivalente que es degenerado tomando $(P') + k (Q')$ y encontrar $k$ tal que $P = P + k Q = 0$ donde $(P')$ es una matriz simétrica construida tomando los coeficientes de la cuádrica $((P') = [(a,b,d),(b,c,e),(d, e, f)]$ tomando $det((P') + k(Q'))=0$ .

(Si es necesario, puede proporcionar el enlace a dichas notas (en .pdf))

Por ejemplo, consideremos las dos cuadriculas siguientes:

$2x^2 - xy + 3y^2 = 36$
$3x^2 - 4xy + 5y^2 = 36$

He probado los pasos anteriores y la constante requerida resulta ser algún número desagradable que realmente complica los cálculos (por fórmula cuadrática ya que forma un polinomio cúbico en $k$ pero con $(-36-36k)$ ya factorizado dejando una porción cuadrática por resolver) lo que me envía el mensaje de que esto no es correcto. Así que probé a tomar la diferencia de las dos cuádricas (que es esencialmente el caso de $k=-1$ ) y resolví directamente como así y obtuve $\{(4,2), (-4,-2), (3,3), (-3,-3)\}$ como mis puntos de intersección.

¿Es aceptable este planteamiento o no lo estoy entendiendo? Como no he considerado otros posibles valores de $k$ Me da la impresión de que así se pasa por alto algún subconjunto de soluciones.

Cualquier consejo que me indique la dirección correcta será muy apreciado :)

Answer 1

Aquí está el áspero foto. Digo "aproximada" porque si se quiere un resultado preciso hay que añadir tecnicismos: plano proyectivo en lugar de plano afín, multiplicidades de intersección, etc.

La familia de cónicas de un parámetro dada por $C_k=\lbrace P+kQ=0 \rbrace$ se llama lápiz.
Todas las cónicas de este lápiz pasan por los cuatro puntos de intersección $a,b,c,d$ de las dos cónicas originales $C_0=\lbrace P=0 \rbrace$ y $C_\infty=\lbrace Q=0 \rbrace$ .
Estos cuatro puntos se denominan puntos base del lápiz y los has identificado correctamente en tu ejemplo.
Entre las cónicas del lápiz hay tres degeneradas formadas por un par de líneas.
Cada par se obtiene partiendo los puntos de base $a,b,c,d$ en dos trozos de dos puntos y uniendo los puntos así obtenidos : por ejemplo una de las cónicas degeneradas está formada por las dos rectas $\overline {a,c}$ y $\overline {b,d}$ .
Las tres cónicas degeneradas pueden calcularse por el procedimiento que describes de resolver una ecuación cúbica en $k$ pero si se tiene la suerte de conocer los puntos base, es más fácil trazar las líneas entre esas líneas y obtener las cónicas degeneradas por el método de las particiones descrito anteriormente.

Las consideraciones anteriores forman parte de un tema de la geometría algebraica denominado sistemas lineales .
En el capítulo 16 de la obra de Gibson se ofrece una introducción muy elemental. Geometría elemental de curvas algebraicas: An Undergraduate Introduction .