Compute $\sum\limits_{k=1}^{9999}\frac1{2\sqrt k+1}$

Question

Tengo problemas al intentar calcular la siguiente suma:

$$\frac1{2\sqrt 1+1}+\frac1{2\sqrt 2+1}+\frac1{2\sqrt 3+1}+\ldots+\frac1{2\sqrt {9999}+1}$$

Dado que no existe ninguna fórmula para calcular la serie $\sum\frac1{n^{1/2}}$ y hay números de raíz cuadrada en la suma, ¿cómo se resuelve esto?

Tenga en cuenta que este problema se dio en un torneo en el que participé, por lo que DEBE poder resolverse.

Answer 1

Se puede obtener una aproximación bastante buena evaluando $$\int_1^{9999}\frac{1}{2\sqrt{x}+1}dx=\sqrt{9999}-1-\frac 12\ln\left(\frac{2\sqrt{9999}+1}{3}\right)\simeq96.89267844$$