¿Cuánto depende la Relatividad General matemática del axioma de elección?

Question

Una de las piedras angulares de la formulación matemática de la Relatividad General (RG) es el resultado (debido a Choquet-Bruhat y otros) de que el problema de valor inicial para las ecuaciones de campo de Einstein es resoluble y admite un desarrollo esencialmente único maximal (globalmente hiperbólico) (GHD).

Las pruebas que he visto de esto parecen hacer uso del Axioma de Elección (AC) de una manera no trivial (por lo general, el lema de Zorn se aplica dos veces: primero para demostrar la existencia de una solución maximal setwise, a continuación, para demostrar la existencia de un GHD común dadas dos soluciones, de la que luego se infiere el resultado). De ahí la pregunta del título: ¿cuánta CA se necesita realmente para todo esto?

La pregunta puede interpretarse principalmente de dos maneras:

1. Literalmente. Dado que gran parte del análisis depende de alguna forma de AC, y que para el teorema se necesitan algunos resultados de la teoría de las EDP, soy escéptico respecto a que esta interpretación tenga una respuesta fácil: retroceder en todas las aplicaciones de AC parece inviable.

2. Restringiendo la cuestión a "escenarios naturales": quizá se necesite toda la fuerza de AC para demostrar el teorema para datos iniciales completamente generales, pero restringiendo a una clase natural de datos resulta que podemos hacer elecciones explícitas en los argumentos necesarios.

Cualquier referencia, observación o comentario es bienvenido.

EDITAR: Parece que el lema de Zorn no es realmente necesario después de todo. A estas alturas estoy bastante convencido de que el teorema completo puede demostrarse en ZF+DC (es decir, que todo el análisis necesario para el teorema puede hacerse en ese contexto), pero también de que comprobar realmente todo para ver que es así sería un proceso laboriosamente largo. Sigo estando muy interesado en el enfoque absoluto sugerido por Gro-Tsen, Dorais, Chow y Hanson, pero eso es material para una nueva pregunta.

Answer 1

La dependencia de AC mediante el uso del lema de Zorn en la demostración del teorema de Choquet-Bruhat-Geroch sobre la existencia de un desarrollo máximo globalmente hiperbólico para las soluciones de las ecuaciones de Einstein ha sido eliminada más o menos al mismo tiempo por Jan Sbierski, en Sobre la existencia de un desarrollo máximo de Cauchy para las ecuaciones de Einstein - una dezornificación y Willie Wong, en Un comentario sobre la construcción del máximo desarrollo Cauchy globalmente hiperbólico (este último ha sido mencionado por Asaf Karagila en el comentarios ).

En términos más generales, un debate análogo, aunque no exhaustivo, ha aparecido anteriormente en M.SE10102 y MO45928 en el contexto de la geometría de Riemann.

La conclusión parece ser que varios resultados fundamentales del análisis funcional utilizan de todos modos el axioma de elección o alguna versión del mismo. La RG matemática utiliza sin duda la teoría de las EDP elípticas e hiperbólicas lineales (y no lineales), que en particular se basa en la teoría de los espacios de Sobolev (y posiblemente también en las distribuciones de Schwartz). Los resultados básicos en los que (que yo sepa) se cuela la CA incluyen

• el teorema de Hahn-Banach,
• la aditividad contable de la medida de Lebesgue (puede utilizarse en la teoría de Sobolev),
• los teoremas de Arzelà-Ascoli y Fréchet-Kolmogorov (utilizados en las incrustaciones de Sobolev),
• el teorema de Banach-Alaoglu (como paso previo a la aplicación de los teoremas de punto fijo tipo Schauder),
• el principio de acotación uniforme,
• y tal vez otros.

Lo más probable es que la lista no sea exhaustiva. De las notas Análisis Funcional Zorniano o: Cómo aprendí a dejar de preocuparme y a amar el axioma de elección por Asaf Karagila y la respuesta de Cloudscape a MO45928 parece que hay versiones de estos teoremas que no requieren AC bajo alguna hipótesis (como restringir a espacios de Banach separables) o sólo una versión débil de la misma (como la elección contable). Supongo que podría ser una pregunta abierta, si toda esta dependencia de AC podría ser eliminada bajo hipótesis suficientemente razonables (digamos suficiente para el estudio matemático de las ondas gravitacionales de fuentes astrofísicas). Si se pudiera escribir un libro de texto razonable sobre la teoría de las EDP sin AC, entonces probablemente se podrían adaptar los mismos métodos a la RG matemática.

Como referencia, a continuación figura el enlace actualmente funcional a la base de datos en línea de la consecuencia de AC. No todos los teoremas anteriores aparecen allí por su nombre, sino tal vez sólo en alguna versión equivalente (cf. el ya mencionado M.SE y MO discusiones).

• https://cgraph.inters.co/

Answer 2

No es el teorema principal que querías, pero esto da al menos un límite inferior de lo que es posible en fundamentos mucho más débiles de lo que se suele suponer, y también analiza un teorema serio en ese entorno:

• Ye, F. (2011). Semi-Riemannian Geometry. En: El Finitismo Estricto y la Lógica de las Aplicaciones Matemáticas. Synthese Library, vol 355. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-94-007-1347-5_8

En este capítulo se desarrollan los fundamentos de las variedades diferenciables y de la geometría semirriemanniana para las aplicaciones en relatividad general. Se introducirán sustitutos finíticos para las nociones topológicas básicas. Veremos que después de disponer de nociones topológicas básicas, las nociones básicas de la geometría semirriemanniana, es decir, vector, tensor, derivada covariante, transporte paralelo, geodésica y curvatura de Riemann, ya son todas esencialmente finíticas. Los teoremas sobre la existencia de singularidades del espaciotiempo son buenos ejemplos para analizar la aplicabilidad de modelos matemáticos infinitos y continuos a cosas físicas finitas. La última sección de este capítulo analizará uno de los teoremas de singularidad de Hawking, cuya prueba clásica común no es constructiva. La sección mostrará que la prueba puede transformarse en deducciones lógicas válidas sobre afirmaciones acerca del espaciotiempo real a partir de premisas literalmente verdaderas acerca del espaciotiempo real, incluso si el espaciotiempo real es discreto a escala microscópica. Por tanto, la conclusión del teorema es físicamente fiable para el espaciotiempo real, a pesar de que la prueba común del teorema parece suponer que el espaciotiempo es literalmente isomorfo con una variedad clásica diferenciable (y, por tanto, absolutamente no discreto).

El sistema fundamental de este libro es un fragmento de aritmética. Los expertos en relatividad general matemática estarían mejor situados que yo para discutir lo restrictiva que es la "Hipótesis de estabilidad geodésica" de la página 260 (creo que es la versión rigurosa de lo que se pretende en el párrafo anterior con "premisas literalmente verdaderas sobre el espaciotiempo real").

Answer 3

Mi (intento de) respuesta va en la dirección de "2. restricciones naturales".

En primer lugar, como se señala en los comentarios, lo demostrable en ZF son las restricciones de AC al lenguaje de la aritmética de segundo orden. Sin embargo, en este lenguaje frugal, uno sólo tiene variables para números naturales y subconjuntos de $\mathbb{N}$ . Todos los demás objetos, como las funciones de real a real, tienen que representarse/codificarse y las cosas se complican con bastante rapidez. Además, en este contexto la gente no ha estudiado mucho análisis real más allá del continuo. Por lo tanto, este enfoque puede no ser adecuado, pero hay una solución más "intermedia", como sigue.

En segundo lugar, las siguientes clases de funciones son tales que si $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es un elemento, se puede aproximar (por definición) $f(x)$ para cualquier $x\in \mathbb{R}$ usando nada más que $f(q)$ para cualquier $q \in \mathbb{Q}$ :

Cuasi-continuidad, cadlag, Baire 1, efectivamente Baire 2, variación acotada normalizada (y muchos más). (A)

La experiencia demuestra que cualquier propiedad de estas clases de funciones puede demostrarse a partir de axiomas de comprensión de segundo orden (en una teoría débil de orden superior, véase [1]), es decir, todo tiene lugar definitivamente en ZF.

En tercer lugar, y obviamente, existen clases de funciones para las que el párrafo anterior es falso. He aquí algunos ejemplos:

Variación limitada, regulada, semicontinua, cliquish y Baire 2. (B)

Para demostrar las propiedades de estas clases de funciones, puede ser necesario utilizar "AC reales no demostrables en ZF".

En conclusión, si (A) es suficiente para tus propósitos, entonces AC puede omitirse (y de hecho, los axiomas de comprensión de segundo orden son suficientes). Si necesitas (B), entonces AC aparecerá aquí y allá.

Por supuesto, ¿qué significa "necesitas (B)" en el contexto de la física?

Referencia(s)

[1] Dag Normann y Sam Sanders, The Biggest Five of Reverse Mathematics, arxiv: https://arxiv.org/abs/2212.00489