Construcción de la realización geométrica de un conjunto simplicial

Question

Intento comprender la construcción de la realización geométrica de un conjunto simplicial. El meta es resolver el siguiente problema:

Para cada conjunto simplicial $S_\bullet$ encontrar un espacio $|S_\bullet|$ llamada realización geométrica de $S_\bullet$ y un isomorfismo natural $\hom(S_\bullet, \mathrm{Sing_\bullet}(-))\cong \hom(|S_\bullet|, -)$ .

Toma, $\mathrm{Sing}_\bullet$ es el funtor de conjunto simplicial singular.

Tengo varias preguntas:

1. La solución puede resumirse como sigue: en primer lugar, demostrar que siempre que una clase de conjuntos simpliciales tiene una realización geométrica, entonces cada conjunto simplicial que puede construirse como colímite de estos conjuntos simpliciales tiene también una realización geométrica. En segundo lugar, la $\Delta^n$ s tienen una realización geométrica por el lema de Yoneda. En tercer lugar, por el lema de Yoneda, todo conjunto simplicial es el colímite de $\Delta^n$ s. Me cuesta precisar el primer paso. La forma obvia de escribirlo es la siguiente:

Sea $F\colon J\to \mathbf{sSet}$ y supongamos que cada $F(j)$ tiene una realización geométrica $|F(j)|$ . Entonces $\mathrm{colim}_j |F(j)|$ es una realización geométrica de $\mathrm{colim}_j F(j)$ .

Pero, ¿qué es $\mathrm{colim}_j |F(j)|$ ? Debería ser el colímite de algún functor con dominio $J$ . Pero, ¿qué functor? Estoy tentado de decir $|-|\circ F\colon J\to \mathbf{Top}$ -- pero sólo estamos en el proceso de construcción de $|-|$ ¡!

2. Supongamos que el problema anterior está resuelto, es decir, que hemos construido $|S_\bullet|$ para cada conjunto simplicial $S_\bullet$ . Y en cada caso hemos construido una biyección natural $$\alpha_{S_\bullet}\colon \hom(S_\bullet, \mathrm{Sing_\bullet}(-))\cong \hom(|S_\bullet|, -).$$ ¿Cómo podemos construir ahora un adjunto izquierdo de $\mathrm{Sing}_\bullet$ ? (Ya lo hicimos con los objetos y ahora lo hacemos con los morfismos).

He oído que siempre hay una forma única de definir los morfismos del adjunto izquierdo. Pero estoy confundido, por la siguiente razón: sea $S_\bullet \to T_\bullet$ sea un mapa de conjunto simplicial. Queremos construir un morfismo $|S_\bullet|\to |T_\bullet|$ . Por Yoneda, basta con construir un mapeo $$\hom(|T_\bullet|, -)\to \hom(|S_\bullet|, -).$$ Así es como lo hacemos: para cada $X$ dado $|T_\bullet|\to X$ Utilice $\alpha_{T_\bullet}^{-1}$ para obtener un morfismo $T_\bullet\to \mathrm{Sing}_\bullet(X)$ . Ahora precomponga con $S_\bullet\to T_\bullet$ para obtener un morfismo $S_\bullet \to \mathrm{Sing}_\bullet(X)$ . Por último, aplique $\alpha_{S_\bullet}$ para obtener un morfismo $|S_\bullet|\to X$ .

Pero, ¿es esta forma de definir el functor $|-|$ sobre morfismos realmente únicos? Después de todo, podría depender de $\alpha_{S_\bullet}$ ¡!

3. ¿Hay alguna forma más elegante de describir $|-|$ sobre morfismos? Esto me recuerda una cita que leí en Riehl's Introducción pausada a los conjuntos simpliciales :

La unicidad de la propiedad universal implica que $L$ es functorial, como ocurre siempre que se utiliza una construcción de colímite para definir un functor.

No tengo ni idea de lo que esto significa, pero tengo mucha curiosidad. ¿Puede formular con precisión el principio general que subyace a esa cita?

Answer 1

1. Básicamente lo tienes. $|-|\circ F$ está perfectamente bien definida ya que supuso $F$ se valora en conjuntos simpliciales para los que $|-|$ se define. Sin embargo, tenga en cuenta que necesita $|-|\circ F$ para que también se defina sobre morfismos en $J.$ Esto enlaza con...

2. No, no es realmente único. Depende de una elección de $\alpha_{S_\bullet},$ pero sólo en eso. La mejor manera de proceder es reforzar tu construcción en 1: asumir que "un conjunto simplicial tiene una realización geométrica" significa que has definido $|S_\bullet|$ junto con una selección de $\alpha_{S_\bullet}.$ Con esta aclaración, quedan resueltas sus dudas tanto en 1 como en 2.

3. Dado $f:S_\bullet\to T_\bullet$ y $x\in S_\bullet,$ deje $x$ estar representado por $a_x:\Delta^n\to S_\bullet.$ Entonces tenemos $|f|\circ |a_x|=|f\circ a_x|.$ Desde $f\circ a_x:\Delta^n\to T_\bullet$ representa el simplex $f(x),$ vemos que $|f|$ envía la realización de $x,$ que es un espacio cociente de $|\Delta^n|$ en $|S_\bullet|,$ a la realización de $f(x).$ En otras palabras, la realización geométrica de un mapa de conjuntos simplicial actúa sobre los símplices, ahora geométricamente visibles, del mismo modo que lo hacía el mapa original.

Creo que a lo que se refiere la cita de Riehl es que, en general, si tienes un functor $F:A\to\mathcal C$ con $A$ pequeño y $\mathcal C$ cocompleto, siempre se obtiene un functor cocontinuo $\widehat F:\widehat A\to \mathcal C$ mediante el lema de co-Yoneda. Esto está estrechamente relacionado con lo que estamos haciendo aquí, excepto que nos centramos en la definición de la realización geométrica utilizando el adjunto derecho previsto. Se puede prescindir de esto empezando con la realización geométrica de mapas entre conjuntos simpliciales representables, que resuelve los morfismos que faltan en (1) de una manera diferente.

Answer 2

1. Tienes razón. Si se quiere ser realmente preciso, hay que suponer que $|-|$ ya se ha definido en alguna subcategoría de $\operatorname{Set}_{\Delta}$ . Llama a esta subcategoría $\mathcal C$ . Entonces tu fórmula tiene sentido siempre que el diagrama $F\colon J\to \operatorname{Set}_{\Delta}$ factores a través de $\mathcal C$ que es como debe entenderse la tarea. Y, de hecho, sólo se necesita realmente el caso en que $\mathcal C$ es $\Delta\hookrightarrow\operatorname{Set}_{\Delta}$ donde el functor $|-|\colon\Delta\to\operatorname{Top}$ es la evidente.

2. y 3. El truco está en no intentar definir $|-|$ directamente, sino utilizar el lema de Yoneda: el functor $$\hom(-,\operatorname{Sing}_\bullet(-))\colon \operatorname{Set}_{\Delta}^{\operatorname{op}}\times\operatorname{Top}\to\operatorname{Set}$$ puede considerarse de forma equivalente como un functor $$ \operatorname{Set}_{\Delta}^{\operatorname{op}}\to \operatorname{Fun}(\operatorname{Top},\operatorname{Set})$$ que lleva un conjunto simplicial $S_\bullet$ a $\hom(S_\bullet,\operatorname{Sing}_\bullet (-))\simeq \hom(|S_\bullet|,-)$ . Por lo tanto, la imagen de $S_\bullet$ es un functor representable, lo que implica que este functor factoriza a través de la incrustación de Yoneda $\operatorname{Top}^{\operatorname{op}}\hookrightarrow \operatorname{Fun}(\operatorname{Top},\operatorname{Set})$ . De este modo, se obtiene un functor $|-|\colon \operatorname{Set}_{\Delta}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Top}^{\operatorname{op}}$ que al tomar categorías opuestas da lugar al functor de realización geométrica.