(Esto es en parte matemática recreativa, jugando con esta pregunta originalmente buscando una representación útil y de convergencia rápida para $\pi$ ) .
Un poco aparte de juguetear con series que aproximan $\pi$ Llegué a esa variante siguiente $$ s(x) = \sum_{k=0}^\infty {x^k\over \binom{2k+1}{k} \cdot \binom{2k+3}{2}} $$ que resulta estar relacionado con $\pi$ (con 100 y más dígitos de precisión) de la siguiente manera: $$ \begin{array} {} s(1) &= \frac 41(1- { \pi \over 2 \sqrt 3}) \\ s(2) &=\frac 42(1- {\pi \over 4}) &=2 - { \pi \over 2} \\ s(3) &= \frac 43(1 - { \pi \over 3 \sqrt 3 } )\\ \end{array} $$
que me parece algo intrigante.
Antecedentes: Llegué a esta serie, cuando inventé una serie para el cálculo de $\pi$ recogiendo expresiones parciales de la serie de Leibniz, llegando a $$ \pi=4 - 2( {0! \over 3!!}+{ 1!\over5!! }+{2! \over 7!! }+{ 3! \over 9!! } + ...) $$ (que, por supuesto, es bien conocida, de acuerdo con mathworld incluso desde Euler).
Para tener esta serie más suave convertí las expresiones factorial y doblefactorial en expresiones binomiales, obteniendo potencias crecientes de 2 en los numeradores lo que me dio la idea de definir esto como $s(2)$ y jugar con otros $x$ lo que da un buen valor para $s(3)$ . (Pero hasta ahora no tengo nada para, digamos $s(2.5)$ etc.)
Para $s(4)$ la serie converge muy lentamente, resumí a 140 000 y a 140 200 términos y obtener los resultados
%3078 = 0.99763 1473716 \\ 140 000 terms
%3079 = 0.99763 3163689 \\ 140 200 termsy supongo, que con el tiempo podría llegar a 1.0 . Porque parece que no habrá índice $k$ a partir de la cual mejora el índice de convergencia, es muy probable que se requiera un enfoque analítico. Así que mi pregunta:
Q: ¿Cuál sería una expresión analítica para la suma? ¿O podríamos mejorar la suma en serie con alguna aceleración de la convergencia? Y por supuesto: ¿es el valor final $s(4)=1$ ?
