Imagen del sistema lineal

Question

He encontrado el determinante y el espacio nulo de la matriz en ejercicios anteriores, pero estoy teniendo problemas para entender cómo encontrar la imagen de la siguiente matriz.

"Dada la matriz

$$A_{a} = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ a & 0 & a \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}$$ para $a\in \mathbb{R}$ determinar la imagen

$$B(A_{a})=\{y\in \mathbb{R}^3 \mid A_ax=y\;,\;x\in \mathbb{R}^3 \}"$$

A mí me parece que la ecuación $A_ax=y$ tienen tantas incógnitas: a, x e y?

Soluciones y consejos son muy bienvenidos.

Answer 1

La imagen se extiende por $A(e_1)=ae_1+ae_2$ , $A(e_2)=e_1+e_3$ y $A(e_3)=e_1+ae_2+ae_3$ según la matriz $A$ . Aquí $e_1,e_2,e_3$ es una base de $\mathbb{R}^3$ y $a\in \mathbb{R}$ . Para $a\neq 0, \frac{1}{2}$ la imagen es $\mathbb{R}^3$ porque $\det(A)=a(1-2a)$ de modo que $A$ es un mapa lineal suryectivo.

Answer 2

Si el determinante es distinto de cero, significa que la matriz tiene tres valores propios (distintos de cero) con vectores propios independientes. Hay que concentrarse entonces en los valores $a$ que hacen que el determinante sea igual a cero. En este caso es útil determinar los vectores propios y ver si su valor propio es distinto de cero o no. Si el vector propio está asociado a un valor propio distinto de cero, se incluye en la imagen de la matriz. En el caso contrario, el vector propio no se incluye en la imagen de la matriz. Espero que esta respuesta te sea útil

Answer 3

Un método general es la eliminación gaussiana. Podemos hacer \begin{align} \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ a & 0 & a \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix} &\to \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 0 & -1 & a-1 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix} && R_2\gets R_2-R_1 \\ &\to \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 0 & -1 & a-1 \\ 0 & 0 & 2a-1 \end{pmatrix} && R_3\gets R_3+R_2 \\ \fin

• Si $a\ne0$ y $a\ne 1/2$ el rango de la matriz es $3$ por lo que la imagen es $\mathbb{R}^3$ .
• Si $a=1/2$ el rango es $2$ y la imagen está generada por las dos primeras columnas de la matriz, por lo que una base está formada por $$ \begin{pmatrix}1/2 \\ 1/2 \\ 0\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} $$
• Si $a=0$ el rango es $2$ y la imagen es generada por las dos últimas columnas de la matriz, por lo que una base consiste en $$ \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\0\end{pmatrix} $$

Answer 4

Quieres encontrar $\{Ax: x \in \mathbb{R}^3\}$ . Tenga en cuenta en primer lugar que $Ax$ es una combinación lineal de las columnas de $A$ donde los coeficientes de esta combinación son los componentes de $x$ . Entonces la pregunta es: ¿cuál es el subespacio obtenido a partir de todas las combinaciones lineales posibles de las columnas de $A$ ?

Obsérvese a partir de la submatriz inferior izquierda de 2 por 2 que si $a$ es distinto de cero, entonces las dos últimas filas son linealmente independientes. Observando la segunda columna y la primera, vemos que la única forma de que la primera fila sea una combinación lineal de la segunda y la tercera es que sea igual a su suma, en cuyo caso (por las entradas de la tercera columna) $2a=1$ o $a=1/2$ .

Así, si $a \ne 0$ y $a \ne 1/2$ la matriz tiene rango 3. En este caso, $A$ es invertible y por tanto es un mapa biyectivo desde $\mathbb{R}^3$ a sí misma. La imagen $\{Ax: x \in \mathbb{R}^3\}$ es entonces todo $\mathbb{R}^3$ .

Si $a=0$ entonces la matriz $A$ es igual a $\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ . El espacio de columnas de $A$ es entonces igual al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores $(0,0,1)^T$ y $(1,0,0)^T$ .

Si $a=1/2$ la matriz $A$ es igual a $\left(\begin{array}{ccc} 1/2 & 1 & 1 \\ 1/2 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & 1/2\end{array}\right)$ . La tercera columna es igual a la suma de la primera columna y la mitad de la segunda. Por lo tanto, la tercera columna puede ignorarse, ya que el espacio de columnas es la luz de las dos primeras columnas de $A$ . Así pues, el espacio de columnas es el subespacio abarcado por $(1,1,0)^T$ y $(1,0,1)^T$ .