Me encontré con una pregunta en mi libro de texto de Cálculo de Secundaria:
Encuentre $\lim_{n \to \infty} a_n$ w $a_n = \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \frac{3}{n^2} + ... + \frac{n}{n^2}$
Mi método consistía simplemente en distribuir el límite entre cada término de la suma parcial. Creía que esto sería legítimo según las leyes de límites. Una vez evaluados los límites individuales, el límite de la suma parcial resultó ser igual a $0$ :
$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} a_n &= \lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \frac{3}{n^2} + ... + \frac{n}{n^2}) \\ &= \lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n^2}) + \lim_{n \to \infty}(\frac{2}{n^2}) + \lim_{n \to \infty}(\frac{3}{n^2}) + ... + \lim_{n \to \infty}(\frac{n}{n^2}) \\ &= 0+0+0+...+0 \\ &=0 \end{aligned}$$
Sin embargo, el libro de texto primero combinó las fracciones y lo simplificó, sólo para encontrar que el límite de la suma parcial es igual a $1/2$ :
$$\begin{aligned} a_n &= \frac{1+2+3+...+n}{n^2} \\ &= \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2} \\ &= \frac{1}{2}(\frac{n+1}{n}) \\ &= \frac{1}{2}(1+\frac{1}{n}) \end{aligned}$$
$$\therefore \lim_{n \to \infty}a_n = \frac{1}{2}$$
Ambas soluciones parecían legítimas. Sin embargo, después de reflexionar un poco sobre la cuestión, empiezo a pensar que tal vez las leyes del límite no se aplican a las sumas parciales... Como $n\rightarrow\infty$ El número de plazos también se acerca al infinito, por lo que entonces distribuir el límite un número "infinito" de veces podría ser erróneo, teniendo en cuenta lo raro que es el infinito. Pero no estoy muy convencido de ello.
¿Existe algún tipo de restricción sobre cómo se puede distribuir el límite? ¿Hay algo que esté pasando por alto y que invalide por completo mi planteamiento del problema?
