Me estoy iniciando en la teoría de las medidas. ¿Qué significa decir la más pequeña -álgebra?
Respuesta
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Supongamos que ${\cal S}$ es una colección de conjuntos.
Podemos formar un $\sigma$ -por tomando $X = \cup_{A \in {\cal S}} A$ y dejando ${\cal F} = \{ A | A \subset X \}$ que es trivialmente un $\sigma$ -álgebra. Por tanto, existe una $\sigma$ -que contiene la colección ${\cal S}$ .
Ahora dejemos que ${\cal C}_{\cal S} = \{ {\cal F} | {\cal F} \text{ is a } \sigma \text{-algebra, } {\cal S} \subset {\cal F}\} $ . De la observación anterior se desprende que ${\cal C}_{\cal S}$ no está vacío.
Sea $\sigma({\cal S}) = \cap_{{\cal F} \in {\cal C_{\cal S}}} {\cal F}$ . No es difícil demostrar que $\sigma({\cal S})$ es un $\sigma$ -y tenemos ${\cal S} \subset \sigma({\cal S})$ .
La colección $\sigma({\cal S})$ se llama el más pequeño $\sigma$ -álgebra que contiene ${\cal S}$ porque si ${\cal S} \subset {\cal F}$ y ${\cal F}$ es un $\sigma$ -debemos tener ${\cal F} \in {\cal C}_{\cal S}$ y así $\sigma({\cal S}) \subset {\cal F}$ .
