Su intuición de que
Si, en cambio, mi medición es sólo parcialmente exacta y dice que el momento de la partícula está en un conjunto $\Delta =(a_x,b_x)\times(a_y,b_y)\times(a_z,b_z)$ ¿la medición colapsará la función de onda en $P\Psi$ (donde $P$ es el proyector espectral del operador de momento sobre el conjunto $\Delta$ )?
es exactamente correcto. Las medidas que se proyectan sobre estados no físicos, como los eigenestados de momento, no son físicamente realizables; sólo podemos proyectar sobre estados continuos con una resolución finita, y los proyectores de medida correspondientes son los proyectores espectrales apropiados $P$ . Tras la medición, el estado del sistema es el vector proyectado $P\Psi$ .
Si desea un enfoque un poco más sofisticado, puede pensar en su detector como si tuviera una serie de "píxeles" cada uno de los cuales tiene una sensibilidad variable $f_j(\mathbf p)$ a distintos momentos, y que está asociado a un operador de proyección $$ P_j=\int\text d\mathbf p \, f_j(\mathbf p) \,|\mathbf p⟩⟨\mathbf p|. $$ En $f_j(\mathbf p)$ deben ser una partición de la unidad, en el sentido de que son reales, positivas y $\sum_j f_j(\mathbf p)$ debe ser idénticamente 1. Esto hace entonces que el $P_j$ en un POVM que obedece a $$\sum_j P_j=\mathbb I.$$ Después de medir en píxel $j$ el estado del sistema es $P_j\Psi$ .
¿Por qué es necesario? Tu esquema original cabe dentro del nuevo, pero tiene discontinuidades en el $f_j$ . Esto significa que introduce recorte espectral en su estado, con el resultado de que $P\Psi$ todavía no es físico, y en general tendrá ~ $\sin(x)/x$ anillos que lo harán no físico (aunque todavía integrable). Sólo si el $f_j$ son suaves y tienen un soporte compacto se $P_j\Psi$ ser completamente físico. (Aquí, por "estado físico" me refiero a uno que tiene finito $⟨\hat x^n⟩$ y $⟨\hat p^n⟩$ para todos $n$ .)
Obviamente, este criterio excluye funciones del tipo $f_j(\mathbf p)=\delta(\mathbf p)$ y proyectar sobre un estado propio de momento puro no es algo físico. Si lo hicieras, el estado sale $L^2$ para convertirse en una onda (¡plana!). No es una idea especialmente molesta, porque para poder fijar realmente la longitud de onda de una función en un número real exacto, se necesita un procedimiento físico que la evalúe en cada posición entre $-\infty$ y $\infty$ lo que significa que la falta de límites del estado resultante no es especialmente sorprendente. (Obviamente, una versión análoga de este argumento es válida para la "precisión arbitraria del momento" y la "extensión espacial cada vez mayor" necesaria para la medición y que se obtiene para el estado resultante después de la proyección).
Para saber más sobre la función de los estados físicos tal como los he definido y su relación con los espectros continuos, el concepto clave que hay que buscar es espacios de Hilbert aparejados . Una buena referencia al respecto, a partir de una lectura somera, es
El papel del espacio de Hilbert amañado en la mecánica cuántica. R. de la Madrid. Eur. J. Phys. 26 no. 2, 287-312 (2005) . arXiv:quant-ph/0502053 .
