Puede $ f\colon \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^n$ tal que $ \forall y \in \operatorname{im}(f)$ , $f^{-1}(y) = \{a_y,b_y\} $ ser continua?

Question

Este es el problema que queremos resolver:

Puede $f\colon \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^n$ tal que $ \forall y \in \operatorname{im}(f)$ , $ f^{-1}(y) = \{a_y,b_y\}, a_y \neq b_y $ ser continua?

Originalmente he visto esta pregunta en un examen pero sólo se planteaba para el caso $ k = n = 1 $ y $f$ suryectiva, lo que hizo muy fácil demostrar $f$ no puede ser continua, utilizando el teorema del valor extremo de Weierstrass. Un argumento muy similar parece funcionar para cualquier $k$ siempre que $n=1$ . Sin embargo, para $k$ y $n$ esto parece mucho más difícil. No veo cómo la subjetividad afecta a este problema, así que he descartado esta suposición por ahora. Edit:Slup comentó a continuación, mostrando la importancia de la subjetividad para esta cuestión.

Inducción en $n$ y observando las proyecciones de $f$ en coordenadas individuales parecía tentador al principio, pero la composición de $f$ con una proyección parece perder cualquier rastro de la propiedad de que la imagen inversa de un punto = exactamente dos puntos, así que no veo cómo esto podría ser útil.

Intentando visualizar esto para $k=n=2$ intuitivamente parece que para transformar el espacio de este modo, tendríamos que "rasgarlo" a lo largo de alguna curva. Para mayores $k = n$ que se convierte en "desgarro" a lo largo de algunos $n-1$ dimensional manifold, pero eso es obviamente completamente informal, algo inútil y no tengo ni idea de cómo esta idea podría traducirse en una prueba formal.

Pregunta extra: ¿Cambia la respuesta o la demostración de forma significativa si limitamos el dominio a $ f:\overline{\mathbb{B}^k} \to \mathbb{R}^n $ ? Operamos en una bola compacta ahora, por lo que es bastante diferente de $\mathbb{R}^k$ .

Answer 1

No he leído el artículo de Mioduszewski mencionado en uno de los posts. Sólo algunas respuestas parciales cuando $f$ es más regular que continua.

Si $k\leq n$ y $f:\overline{B}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ (la bonificación pregunta) es continua de Lipschitz, entonces usando la fórmula de área para funciones de Lipschitz (está en el libro de Evans y Gariepy "Measure theory and fine propiedades de las funciones") $$ \infty>L\mathcal{L}^{k}(\overline{B})\geq\int_{\overline{B}}Jf\,dx=\int _{\mathbb{R}^{n}}\mathcal{H}^{0}(\overline{B}\cap f^{-1}(\{y\})\,dy=\int _{\mathbb{R}^{n}}2\,dy=\infty, $$ lo cual es una contradicción. Toma, $Jf$ es el jacobiano de $f$ , $L$ es el límite de $Jf$ y $\mathcal{H}^{0}$ es la medida de recuento. Si $f:\mathbb{R}% ^{k}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ es continua de Lipschitz y $Jf$ tiene finito integral, se obtiene la misma contradicción.

Si $k>n$ y $f\in C^{k+1-n}(\mathbb{R}^{k})$ entonces usando el teorema de Sard https://en.wikipedia.org/wiki/Sard's_theorem el conjunto de puntos $\{x\in \mathbb{R}^{k}:\,Jf(x)=0\}\cap f^{-1}(\{y\})$ está vacío para $\mathcal{L}^{n}$ a.e. $y\in\mathbb{R}^{n}$ . Por lo tanto, si $f$ o si $f(\mathbb{R}^{k})$ tiene medida positiva, entonces tomando $y\in f(\mathbb{R}^{k})$ tal que $\{x\in\mathbb{R}^{k}:\,Jf(x)=0\}\cap f^{-1}(\{y\})=\emptyset$ obtenemos que $Jf(x)$ tiene rango $n$ por lo que podemos aplicar el teorema de la función implícita a concluir que $f^{-1}(\{y\}$ es localmente la gráfica de una función. En particular $f^{-1}(\{y\})$ no puede constar de dos puntos.

Answer 2

Una respuesta negativa para el caso $k>n=1$ .

Sea $a,b\in\mathbb R^k $ sean puntos gemelos. Sea $c$ y $d $ otros puntos. Tome un camino desde $a $ a $c $ a $d $ a $b $ . Por el teorema del valor medio los puntos gemelos son extremos en ese camino. Digamos que son mínimos. Esto sigue siendo cierto aunque cambiemos el punto $d $ sea un punto cualquiera; por lo tanto $a $ y $b $ son mínimos globales. Dado que esto es cierto para cualquier par de gemelos, cualquiera de estos pares son extremos. Pero esto es imposible porque $ \mathbb R^k$ contiene más de 4 puntos.

El mismo argumento vale para la bola cerrada.

Answer 3

(Estoy asumiendo $f$ es suryectiva). Sea $n=k=2$ , $y \in \mathbb{R}^2, a_y=a, b_y=b.$ Considere la línea entre $a$ y $b$ , $r$ . Esto divide $\mathbb{R}^2$ en $2$ componentes conectados, $P_1$ y $P_2$ . Dado que están conectados, si $f$ era continua entonces sus imágenes a través de $f, Q_1$ y $Q_2$ también estarían conectadas y su intersección estaría vacía. Dado que $r$ también está conectada, su imagen $s$ también está conectada y contiene $y$ . Además, puesto que $f(a)=f(b)=y, s$ no es inyectiva, de hecho divide $\mathbb{R}^2$ en al menos $3$ componentes conectados. Dado que las funciones continuas sólo pueden disminuir el número de componentes conectadas, tenemos una contradicción.

Para un caso general con $k=n$ creo que basta con tomar un número adecuado de puntos para dividir el dominio y el codominio y utilizar un razonamiento similar (por ejemplo, para $k=n=3$ tome dos puntos cuyas preimágenes sean coplanares y divídalos $\mathbb{R}^3$ utilizando un plano y una superficie extraña). También creo que este razonamiento, si se modifica un poco, sirve para $k>n$ (por ejemplo, si $k>n=1$ es aún más sencillo: $\mathbb{R}^k - \{a, b\}$ está conectado pero su imagen $\mathbb{R} - \{y\}$ no lo es, por lo que $f$ no es continua).