$G' = [A, B]$ si $G = AB$ donde $A,B$ son abelianos.

Question

Supongamos que $G = AB$ donde $A$ y $B$ son subgrupos abelianos. Demuestre que $G' = [A, B]$ .

Demostrando que $[A,B] \subseteq G'$ es bastante sencillo, pero ¿cómo muestro la inclusión inversa?

Answer 1

Escriba a $[x,y] = x^{-1} y^{-1} xy$ y $x^y = y^{-1} xy$ . Entonces tenemos las identidades $[x, yz] = [x,z] [x,y]^z$ , $[xy,z] = [x,z]^y [y,z]$ y $[x,y]^g = [x^g, y^g]$ .

Por ejemplo aplicando las dos primeras identidades, se puede ver que basta con demostrar que el conjunto $\{[a,b] : a \in A, b \in B\}$ es cerrado bajo conjugación.

Sea $a \in A$ y $b \in B$ . A continuación, utilizando las identidades anteriores, para $a' \in A$ y $b' \in B$ tenemos

$[a,b]^{a'} = [a, b^{a'}] = [a, a^{''} b^*] = [a, b^*]$

$[a,b]^{b'} = [a^{b'}, b] = [b^{''} a^*, b] = [a^*, b]$

donde $b^{a'} = a^{''} b^*$ y $a^{b'} = b^{''} a^*$ con $a^{''}, a^* \in A$ y $b^{''}, b^* \in B$ .

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Para una referencia y más, véase Satz 1 en el siguiente artículo.

Itô, Noboru. Sobre el producto de dos grupos abelianos . Math. Z. 62 (1955), 400-401. enlace