Problema matemático de forma de pelota de tenis

Question

Encontré el siguiente problema en línea:

"La costura blanca en una pelota de tenis es la separación entre dos piezas verdes de tela que forman la cubierta peluda de la pelota. ¿Alguna vez te has preguntado qué curva tridimensional sigue la costura?

Considera dos conjuntos de puntos A y B, donde A es un arco circular que va desde el Polo Norte hasta el Polo Sur de la pelota de tenis, a lo largo del Meridiano de Greenwich (como si la pelota fuera la Tierra), y B es un arco circular que va a lo largo del ecuador desde los 90 grados de longitud oeste hasta los 90 grados de longitud este, yendo en sentido contrario para evitar el Meridiano de Greenwich. Sea C el conjunto de puntos cuya distancia mínima a un punto de A es igual a la distancia mínima a un punto de B. Calcula la proporción de la longitud de C sobre la circunferencia de la pelota de tenis, redondeada al milésimo más cercano."

Intenté resolverlo pero creo que lo estoy interpretando mal visualmente. ¿Alguien tiene una solución? ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Cuando todo lo demás falla, dibuja un diagrama.

Los cuatro diagramas muestran cuatro orientaciones diferentes de la pelota de tenis, donde cada diagrama se obtiene del anterior al rotar 90° hacia abajo hacia ti (de ahí los puntos finales destacados de los arcos A y B). Es fácil ver que C, la costura de la pelota de tenis (la U en cada diagrama), se divide en cuatro curvas idénticas, que son el conjunto de puntos equidistantes entre un arco y el punto final del otro arco.

Estos arcos son semicírculos, y su longitud es la mitad de la del círculo pequeño a 45° de latitud N/S. Si el radio de la pelota de tenis es 1, el radio del círculo pequeño es $\frac{\sqrt2}2$ y la longitud del arco de cada semicírculo es $\frac{\pi\sqrt2}2$, lo que significa que la longitud total de la costura es $2\pi\sqrt2$. La circunferencia de la pelota de tenis es $2\pi$, por lo que la proporción solicitada en la pregunta original es $\frac{2\pi\sqrt2}{2\pi}=\sqrt2\approx 1.414$.