Matriz dada $M$ cómo encontrar alguna matriz $A$ tal que $M=A^\dagger A$ ?

Question

Dada la matriz

$$M= \begin{bmatrix} 1+\alpha + n_3 & n_1 - i n_2 \\ n_1 + i n_2 & 1+ \alpha - n_3\end{bmatrix}$$

con $\alpha, n_1, n_2, n_3$ todos reales, ¿cómo se puede expresar esto en términos de alguna matriz $A$ tal que $M=A^\dagger A$ ?

Esta condición es necesaria en la teoría cuántica de la medida, véase por ejemplo la primera página, sección II de este artículo https://arxiv.org/pdf/2001.04749.pdf .

Answer 1

Como se trata de un sistema tan pequeño, simplemente hice un ansatz para $A$ y resuelto para $M=A^\dagger A$ . Ej.

$Assumptions = {{A11,A11i,A12,A12i,A21,A21i,A22,A22i,a,n1,n2,n3} \[Element] Reals}
A = {{A11 + I*A11i, A12 + I*A12i}, {A21 + I*A21i, A22 + I*A22i}}
AtA = ConjugateTranspose[A] * A // Simplify
M = {{1+a+n3,n1-I*n2},{n1+I*n2,1+a-n3}}
Solve[M==A, {A11,A11i,A12,A12i,A21,A21i,A22,A22i}] // Simplify

Desde $M$ no es simétrica, por lo que no se puede utilizar la descomposición Cholesky.