Derivar la ecuación de onda 2d en una membrana: ¿por qué mi resultado es erróneo?

Question

Estoy tratando de derivar la ecuación de onda 2d en una membrana. En lugar de considerar un pequeño $\Delta x\times \Delta y$ rectángulo alrededor de $x_0$ Considero un pequeño círculo de radio $r$ en torno a $x_0$ . Pero no sé por qué la fuerza total obtenida es sólo la mitad. ¿Qué hay de malo en mi derivación?

La derivación es la siguiente,

1. Denotemos el parámetro del círculo como $\omega$ . Luego, en un pequeño segmento $d\omega$ la fuerza sobre él será $Sd\omega$ , $S$ es la tensión superficial.
2. Denotando la onda como $u$ la componente vertical de la fuerza $Sd\omega$ es aproximadamente $\frac{u(x)-u(x_0)}{r}Sd\omega$ donde $x$ es la ubicación del segmento $d\omega$ . (utilizando $\sin\theta\approx\theta$ ).
3. Entonces la fuerza total es, $$\oint \frac{u(x)-u(x_0)}{r}Sd\omega$$
4. Utilizar la conclusión aquí (basado en la expansión de Taylor de $u$ ), la fuerza total es aproximadamente $$\frac{r}{4}\omega S\nabla^2u$$
5. Considerando que la masa del círculo es $\frac{1}{2}\omega r\rho$ por la segunda ley de Newton, tenemos, $$\frac{r}{4}\omega S\nabla^2u = \frac{1}{2}\omega r\rho \ddot u$$ Así que el resultado es, $$\color{red}{\frac{1}{2}}\nabla^2u = \frac{\rho}{S}\ddot u$$

Mi pregunta es: ¿por qué hay un $\frac{1}{2}$ en la ecuación? ¿Qué hay de malo en mis pensamientos?

Gracias.

Answer 1

El problema es la aproximación de que la fuerza vertical sobre el segmento $d\omega$ es $\frac{u(x)-u(x_0)}{r}Sd\omega$ . Se trata de una aproximación demasiado burda, basada en una expansión de Taylor que mantiene sólo los términos lineales, y el problema desaparece en cuanto incluimos términos de orden superior.

La expresión exacta de la fuerza vertical sobre $d\omega$ es $$dF = Sd\omega\left[\vec\nabla u(x)\cdot \hat r\right]=\frac{Sd\omega}{r}\left[\vec\nabla u(x)\cdot (\vec x - \vec x_0)\right].$$ Espero que esto tenga sentido, pero avísame si no es así. Voy a dejar que $\vec y=\vec x-\vec x_0$ y utilizar la notación de índices de Einstein (los índices repetidos se suman) para hacer las cosas un poco menos engorrosas. En esta notación,

$$dF = \frac{Sd\omega}{r}\partial_i u(y)y^i.$$

En expansión $u(y)$ acerca de $y=0$ de segundo orden, $$u(y) = u(0)+\partial_iu(0)y^i+\frac{1}{2}\partial_i\partial_ju(0)y^iy^j \tag1\label1$$ $$\partial_ku(y)=\partial_ku(0)+\partial_k\partial_iu(0)y^i \tag2\label2$$ donde en $\eqref2$ utilizamos la igualdad de los parciales mixtos ( $\partial_i\partial_ju=\partial_j\partial_iu).$ $$\partial_i u(y)y^i=\partial_iu(0)y^i+\partial_i\partial_ju(0)y^iy^j$$ Sustituyendo $\partial_i u(0) y^i$ de $\eqref1$ , $$\partial_i u(y)y^i=u(y)-\frac12\partial_i\partial_ju(0)y^iy^j+\partial_i\partial_ju(0)y^iy^j=u(y)-u(0)+\frac12\partial_i\partial_ju(0)y^iy^j$$ $$dF=\frac{Sd\omega}{r}\left[u(y)-u(0)+\frac12\partial_i\partial_ju(0)y^iy^j\right].$$ Los dos primeros términos son exactamente los que has utilizado en tu integral, y el tercero es lo que faltaba. Ahora podemos tomar el Laplaciano del integrando para aplicar el mismo teorema del Laplaciano. Tenemos $$\nabla^2\left[u(y)-u(0)+\frac12\partial_i\partial_ju(0)y^iy^j\right]=\nabla^2u(y) + \frac12\partial_i\partial_ju(0)\partial_k\partial_k(y^iy^j)$$ $$=\nabla^2u(y) + \partial_k\partial_ju(0)\partial_ky^j$$ $$=\nabla^2u(y) + \partial_k\partial_ku(0)$$ $$=\nabla^2u(y)+\nabla^2u(0).$$ Cuando se evalúa en $y = 0$ (es decir $x = x_0$ ), se obtiene $\color{red}{2}\nabla^2u(0)$ y ese es el factor de 2 que falta. Esto ha sido un poco indirecto, pero espero que muestre lo que faltaba en tu derivación.