Uso del teorema trabajo-energía para hallar la aceleración

Question

He aquí un ejemplo de problema:

Un bloque de masa $m$ es libre de moverse verticalmente sobre una cuña de masa $M$ y ángulo de inclinación $\theta$ que descansa sobre un terreno llano. Si todas las superficies son sin fricción, a continuación, encontrar la magnitud de la aceleración del bloque y la cuña cuando el sistema se libera del reposo.

El enfoque habitual sería marcar todos los vectores de fuerza, equilibrar las fuerzas y, a continuación, utilizar la relación de restricción para hallar la aceleración. Sin embargo, he descubierto que se puede obtener el mismo resultado utilizando el teorema del trabajo, y con mucho menos esfuerzo. Esta es mi solución:

Tomo el desplazamiento horizontal de la cuña como $x_1$ y el desplazamiento vertical del bloque a ser $x_2$ . Es fácil imaginar que

$$ x_2 = x_1 \tan \theta. $$

Ahora, aplicando el teorema trabajo-energía sobre el sistema, puedo escribir

$$ mgx_2 = \frac12 m\dot{x}_2^2 + \frac12 M\dot{x}_1^2 \\ \implies 2mgx_1 \tan \theta = m\dot{x}_1^2 \tan^2 \theta + M\dot{x}_1^2 \\ \implies \dot{x}_1^2 = \frac{2mg \tan \theta}{M + m\tan^2 \theta}x_1 $$

No necesito preocuparme por las fuerzas de restricción porque no hacen ningún trabajo aquí. Diferenciando con respecto a $x_1$ finalmente tengo la aceleración de la cuña como

$$ \ddot{x}_1 = \frac{mg \tan \theta}{M + m\tan^2 \theta}. $$

Por lo tanto, la aceleración del bloque sería

$$ \ddot{x}_2 = \frac{mg \tan^2 \theta}{M + m\tan^2 \theta}. $$

¿Ves lo breve y eficaz que es esta técnica? Esta técnica me ha resultado especialmente útil para resolver problemas relacionados con rodadura pura acelerada .

Mis preguntas son:

$(1)$ ¿Se utiliza más la técnica del análisis vectorial únicamente porque da una idea del problema?

$(2)$ ¿Por qué no he podido encontrar en Internet mucha documentación sobre la técnica que presento aquí? Si esta técnica es una aplicación directa del Principio de D'Alembert, como se menciona en un comentario, solicito una explicación detallada de por qué y cómo.

Solicito a los administradores que no cierren esta pregunta por considerarla fuera de tema, ya que podría convertirse en una conversación significativa.

Answer 1

Parece haber encontrado un caso especial aplicado de la Mecánica lagrangiana . Me pregunto si acabas de recibir una clase de física experimental sobre mecánica y todavía no has recibido ninguna sobre física teórica.

Si quieres leer sobre eso, mira la mecánica lagrangiana. Se basa en la energía potencial y cinética y te dará una forma sencilla de calcular las ecuaciones de los movimientos. Es lo suficientemente potente como para resolver el péndulo doble en una o dos páginas de escritura.

Answer 2

(1) Las razones por las que una técnica es más utilizada o preferida que otra no es una cuestión de física, sino de resolución de problemas y de enseñanza. Si una técnica "te da o no una idea del problema" es subjetivo. Estas cuestiones están fuera del tema de este sitio.

(2) No estás aplicando el Principio de D'Alembert. Si quieres saber en qué consiste ese principio, hay muchos sitios en Internet que te lo enseñarán. Tu "técnica" es simplemente aplicar la conservación de la energía (o el teorema trabajo-energía) que se utiliza en toda la física y está ampliamente documentado.

La relación $\tan\theta=x_2/x_1$ es una simple restricción geométrica, no es una aplicación del Principio de D'Alembert.

Parece que promocionas tu "técnica" como "corta y eficaz" pero no la has comparado con ninguna otra "técnica" como aplicar $F=ma$ para demostrar que tu técnica requiere mucho menos esfuerzo.

Utilizando la fuerza normal $N$ entre el bloque y la cuña, aplicando $F=ma$ a cada cuerpo rígido tenemos
$mg-N\cos\theta=m\ddot x_2$
$N\sin\theta = M\ddot x_1$ .
A partir de la ecuación de la restricción geométrica tenemos $\ddot x_2=\ddot x_1\tan\theta$ . Combinando estas ecuaciones y eliminando $N$ obtenemos sus resultados, con poca diferencia en la cantidad de esfuerzo requerido. La única "ineficacia" ha sido el uso de una fuerza de reacción normal desconocida $N$ que no necesitábamos saber.