Para calcular el $n$ -pago periódico $A$ en un préstamo de tamaño $P$ a un tipo de interés del $r$ la fórmula es:
$A=\dfrac{Pr(1+r)^n}{(1+r)^n-1}$
Fuente: https://en.wikipedia.org/wiki/Amortization_calculator#The_formula
Y así la cantidad total pagada durante esos n-períodos es simplemente:
$n*A=\dfrac{nPr(1+r)^n}{(1+r)^n-1}$
Por ejemplo, para amortizar totalmente un préstamo de 10.000 $ a 10 años con un interés anual del 5,00% se necesitarían pagos anuales (principal + intereses) de:
$A=\dfrac{10000*0.05(1.05)^{10}}{(1.05)^{10}-1}\approx1295$ al año
Y durante esos 10 años, la persona habría pagado un total de: $n*A=10*1295=12950$ .
Esta es la fórmula subyacente de la mayoría de los préstamos "amortizables" con $n$ pagos a plazos iguales (por ejemplo, préstamos para coches, hipotecas, préstamos para estudiantes). A medida que el saldo de capital se va amortizando, los pagos de intereses que se basan en ese saldo de capital decreciente también disminuyen, lo que permite que una mayor parte de los intereses fijos se pague en cuotas iguales. $n$ -pago periódico $A$ para pagar el principal. Al final todo se equilibra (es decir, la parte creciente de $A$ que se destina a pagar el principal compensa la parte cada vez menor de $A$ para pagar los intereses).
En cambio, la inversión funciona de forma diferente, con la idea de que se gana "interés compuesto". La cantidad total $B$ que tendrá después de invertir $P$ al ritmo $r$ en $n$ períodos es simplemente:
$B=P(1+i)^n$
Por ejemplo, si uno invierte 10.000 $ al 5,00% anual durante 10 años, el interés compuesto da como resultado:
$B=P(1+i)^n=10000*1.05^{10}=16289$ .
Comparación de la tasa de inversión ( $i$ ) al tipo deudor ( $r$ ), el análisis del umbral de rentabilidad para $B=nA$ debería dar lugar a $0<i<r$ .
Para calcularlo explícitamente, supongamos $B=nA$ :
$B=nA$
$P(1+i)^n=\dfrac{nPr(1+r)^n}{(1+r)^n-1}$
$(1+i)^n=\dfrac{nr(1+r)^n}{(1+r)^n-1}$
$i=\bigg(\dfrac{nr(1+r)^n}{(1+r)^n-1}\bigg)^{(\frac{1}{n})}-1$
Así $0<i<r$ (No he podido encontrar una fórmula más simplificada, lo siento, pero el gráfico es correcto).
Utilizando el ejemplo anterior, tomar prestado en $r=5\%$ si invertimos en $i\approx2.619\%$ entonces $nA=B$ . Observe cuánto más pequeño $i$ es que $r$ para simplemente llegar al punto de equilibrio... ¡increíble!
De hecho, para un $r$ como lo que veríamos para préstamos comunes a largo plazo, digamos $2\%<r<8\%$ la fórmula es aproximadamente:
$i\approx\dfrac{r}{2}+0.1\%$ (donde $2\%<i<r<8\%$ ) (basado en una aproximación de regresión)
Pregunta: ¿Es esto cierto o no? Tanta gente me ha dicho "¡Sólo di que sí a un préstamo al X% si crees que puedes batir ese mismo X% invirtiendo en el mercado!". Esta matemática hace que parezca que, en realidad, deberías decir "Sí" a préstamos a tipos del X% si simplemente puedes batir al menos a medio de esa tasa invirtiendo en el mercado durante el mismo periodo.
