¿Puede un cuadrado ser un número perfecto?

Question

Un número perfecto es la suma de sus divisores (positivos) (excluyéndose a sí mismo). Me pregunto si un cuadrado puede ser un número perfecto.

Si es un cuadrado impar, entonces, excluyéndose a sí mismo, tiene un número par de divisores que son Impares. Al sumarlos se obtiene una suma par. Por lo tanto, un cuadrado impar no puede ser un número perfecto.

¿Y el caso del cuadrado par? Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

No.

El Teorema de Euclides-Euler afirma que cualquier número perfecto par $n$ (no sabemos si hay Impares) es de la forma $$ n = 2^{k-1}(2^k - 1) $$ con $2^k - 1$ primo, y además que cualquier $n$ de esa forma es perfecta (esta última parte es relativamente fácil de demostrar, pero es la primera parte la que necesitas). Está claro que no es un cuadrado, ya que $2^k - 1$ es estrictamente mayor que $2^{k-1}$ y primo.

Answer 2

Un cuadrado perfecto puede escribirse de la forma $n=(p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k})^2$ donde $p_i$ son algunos números primos y $\alpha_i> 0$ son números enteros.

La suma de los divisores de $n$ viene dada por

$$\sigma(n) = \prod_{i=1}^k \sigma(p_i^{2\alpha_i}) = \prod_{i=1}^k(1+p_i + \ldots+p_i^{2\alpha_1})$$

El término $1+p_i+\ldots+p_i^{2\alpha_i}$ es un número impar para todos los primos $p_i$ y los enteros $\alpha_i> 0$ y como el producto de números Impares es impar vemos que $\sigma(n)$ tiene que ser impar. Sin embargo, si $n$ es un número perfecto entonces (por definición) $\sigma(n) = 2n$ que es un número par, por lo que un cuadrado no puede ser un número perfecto.

Answer 3

De hecho, para generalizar el resultado de @winther, hay que tener en cuenta que $\sigma (n)$ es impar si $n$ es de la forma $k^2$ o $2k^2$ .

La prueba de ello se encuentra en este puesto .

Por lo tanto, ya que para un número perfecto $\sigma(n)=2n \equiv 0 \pmod 2$ un número perfecto no puede ser de la forma $k^2$ o $2k^2$ .

Por tanto, cualquier cuadrado -o cualquier número que sea dos veces cuadrado- no es un número perfecto.

Answer 4

No hay ningún número que sea perfecto y cuadrado. Para demostrarlo, considera que n es un número natural perfecto. Entonces tenemos que caso:

1. Cuando n es par, entonces por Teorema de Euler , $n=2^{p - 1}({2^p - 1})$ , donde ${2^p - 1}$ es el primo de Mersenne. Por lo tanto, n no es un cuadrado, porque $\sqrt{n} = \sqrt{2^{p - 1}({2^p - 1})} $ ¡que es irracional!
2. Cuando n es impar, tenemos un teorema que dice que si n es un cuadrado perfecto impar, entonces $ n=pa^2$ donde a es un número entero. Para demostrarlo consideremos la ecuación $\phi{(n)}=2n $ y cuando $\phi{(p^k)} $ es impar?, luego claramente n no puede ser cuadrado por el mismo argumento anterior.