¿Por qué los estados cuánticos se clasifican utilizando sólo cantidades conservadas?

Question

Mientras estudiaba mecánica cuántica a partir de los libros de texto estándar, siempre sentía alguna laguna conceptual que nunca se mencionaba o explicaba. A continuación intentaré formular mi pregunta, por favor tengan paciencia conmigo.

Para una partícula cuántica en un pozo de potencial infinito, los estados estacionarios se etiquetan con el número cuántico $n$ que etiqueta las eigenenergías. Una eigenenergía, que corresponde a un estado estacionario, no cambia con el tiempo, por lo que es una cantidad conservada.

Para un electrón sin espín en potencial de Coulomb, para modelar el átomo de hidrógeno, de nuevo tenemos la misma historia, los estados estacionarios están etiquetados por los números cuánticos $n$ , $l$ , $m$ que corresponde a cantidades conservadas.

Mi pregunta es bastante general, ya que intento comprender conceptualmente por qué sólo se utilizan cantidades conservadas para etiquetar los estados cuánticos.

Es decir, ¿cómo podría alguien pensar de antemano que tiene que buscar cantidades conservadas, y luego utilizar dichas cantidades conservadas para etiquetar los estados?

Answer 1

No es sólo una cuestión de simetrías, aunque éstas desempeñan un papel importante.

La justificación del etiquetado es que se quiere tener una base simple para el espacio de Hilbet de las funciones de onda en el que la energía es diagonal. Esta base tiene dos ventajas: (i) La solución dependiente del tiempo es fácil de calcular. (ii) Se tiene un buen punto de partida para la teoría de perturbaciones si se añaden interacciones adicionales. De hecho, el etiquetado se suele hacer para un prototipo de hamiltoniano altamente simétrico y exactamente resoluble, y los sistemas realistas se obtienen añadiendo las interacciones adecuadas.

Que la energía sea diagonal implica que una de las etiquetas debe estar relacionada con la energía. (A menudo no es la propia energía, sino alguna cantidad simplemente relacionada con ella). Todas las demás etiquetas sirven para distinguir estados con la misma energía. Forman un pequeño espacio de Hilbert; es unidimensional cuando el valor propio es no degenerado, pero si el sistema tiene una simetría no trivial (un operador que conmuta con el hamiltoniano), los espacios propios suelen ser de mayor dimensión.

El punto principal ahora es que por el teorema espectral, cualquier conjunto máximo de operadores autoadjuntos conmutantes tiene espacios propios comunes unidimensionales, por lo que sus vectores propios conjuntos forman una base completamente etiquetada con los valores propios correspondientes. Por lo tanto, el objetivo debe ser extender el Hamiltoniano $H$ a dicho conjunto completo añadiendo suficientes operadores adicionales $Q$ . por supuesto, cualquier operador de este tipo debe conmutar con $H$ y con todos los operadores ya en el conjunto. Pero $[H,Q]=0$ implica que $Q$ es una cantidad conservada. Por lo tanto, hay que buscar cantidades conservadas.

Ahora bien, si un sistema tiene un grupo de simetría que preserva los hamiltonianos, sus generadores conmutan con el hamiltoniano y son los principales candidatos para la elección. Pero a menudo no conmutan entre sí, por lo que hay que ser algo selectivo. Por ejemplo, cuando el grupo es $SO(3)$ generalmente se utiliza uno de los generadores, normalmente $J_3$ pero esto aún no proporciona un conjunto completo de etiquetas. También hay que añadir los operadores Casimir del álgebra de Lie (es decir, los elementos centrales del álgebra envolvente universal, en el caso de $SO(3)$ es $J^2$ . Para grupos pequeños, este tipo de heurística es suficiente para obtener un conjunto completo.

Para grupos de simetría mayores, el problema de encontrar un conjunto completo es más complicado, y consiste en encontrar Casimires de una cadena de subgrupos del grupo. Si esto no es suficiente, se habla del problema de las ''etiquetas perdidas''. Una búsqueda de esta palabra clave (junto con álgebras de Lie) en http://scholar.google.com muestra documentos relevantes para casos concretos.

Answer 2

Creo que todo el punto está en las simetrías; para cada simetría de un Hamiltoniano a mano que identifiques, puedes construir un operador que conmute con H. Cuando reúnes un conjunto completo de operadores, entonces se puede demostrar que cada estado propio de H puede ser etiquetado de forma única por el conjunto de valores propios de todos los operadores del conjunto completo de tus operadores. Por lo tanto, es mucho más fácil de etiquetar funciones de onda a través de un pequeño conjunto de valores propios reales, que escribir un número infinito de proyecciones de un miembro del conjunto L^2.

Answer 3

Esto es un accidente del hecho de que cuando te dan un sistema cuántico y su solución, el límite clásico debe haber sido integrable, porque podrías resolverlo. En el caso integrable, hay variables de acción $J_n$ que llenan todo el espacio de fase con toros invariantes, definidos fijando las variables de acción, y dejando que las variables angulares canónicamente conjugadas varíen en todo el rango Las variables de acción $J_n$ se conservan por definición. Integrabilidad significa que cualquier punto en el espacio es etiquetado por el $J$ y el conjugado $\theta$ 's.

En el límite semiclásico de etiquetas de gran número para los niveles de energía, la energía viene dada por el establecimiento de las variables angulares en números enteros veces $2\pi$ (en unidades donde $\hbar=1$ )

$$ J_k = 2\pi n_k $$

y cerca de la gran J_k, $$ {\partial H\over \partial J_k} = {1 \over T_k} $$

Dónde $T_k$ es el periodo clásico de la variable de acción. Esto hace que los niveles de energía espacien una red proyectada multiperiódica cerca de cualquier energía $E_0$

$$ E = E_0 + \sum_k {2\pi \Delta n_k\over T_k} = \sum_k \omega_k \Delta n_k $$

Puedes extraer los periodos clásicos de las variables angulares del diagrama de niveles de energía. El diagrama de nivel de energía cerca de cualquier energía (grande) parecerá periódico con múltiples períodos inconmensurables.

Si quieres un sistema cuántico en el que los estados de energía no estén etiquetados por cantidades conservadas clásicas, al menos no por cantidades útiles, toma cualquier sistema caótico clásico y considera la versión cuántica. Se necesitan al menos dos grados de libertad, así que el ejemplo más sencillo es el péndulo doble cuántico, en el que hay dos ángulos $\theta$ y $\phi$ y el Lagrangiano viene dado por

$$L = {1\over 2} (\dot{\theta}^2 + \dot{\phi}^2) - \cos(\theta) - A cos(\phi)$$

Si eliges una A para que el sistema sea clásicamente caótico, los eignestados de éste van a tener niveles de energía discretos, pero las etiquetas no pueden corresponder a variables de acción, porque no las hay. Los niveles de energía en un sistema cuántico caótico obedecen a estadísticas matriciales aleatorias en el límite semiclásico, no forman secuencias multiperiódicas localmente, como en el caso integrable.

Answer 4

Además, otra forma de expresar la respuesta de Stipe Galic es: incluso si decides adoptar la imagen de Schroedinger, en la que los estados cambian, siempre que hayas etiquetado tus estados con los valores de las cantidades conservadas, entonces las etiquetas se mantienen a lo largo de la evolución temporal.

Answer 5

Un punto que se está pasando completamente por alto aquí es que un estado propio (un estado descrito por cantidades conservadas) no se mezclará cuando lo hagas evolucionar en el tiempo. Se dispersará (ampliará) espacialmente, pero sus números cuánticos seguirán siendo los mismos (en ausencia de un potencial externo).