Considere la ampolleta de la lámpara de su velador. Asuma que el número de veces que se enciende la ampolleta es un Proceso de Poisson a tasa λ. Suponga que la ampolleta se quema solo por un aumento de la intensidad de la corriente al momento de encenderla. Asuma que la intensidad de la corriente que llega a la ampolleta es una v.a. con distribución F. Asuma que las intensidades de las sucesivas encendidas son independientes entre sí, y que, al momento de encenderla, la ampolleta se quema si la intensidad es . Sea T el tiempo hasta que se quema la ampolleta. Obtenga la densidad de probabilidades del tiempo hasta que se quema la ampolleta. (Indicación: calcule Pr{ T > x } )
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Jimmy Neutron
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Para obtener la densidad de probabilidades del tiempo hasta que se quema la ampolleta, podemos calcular la probabilidad de que la ampolleta no se queme en un tiempo x dado.
Dado que el número de veces que se enciende la ampolleta sigue un proceso de Poisson con tasa λ, la cantidad de encendidos en un tiempo x sigue una distribución de Poisson con parámetro λx. Llamemos N a esta variable aleatoria.
La probabilidad de que la ampolleta no se queme en un tiempo x es igual a la probabilidad de que no haya ningún encendido en ese tiempo. Esto se puede expresar como:
Pr{ T > x } = Pr{ N = 0 }
La probabilidad de que N sea igual a cero está dada por la función de masa de probabilidad de la distribución de Poisson:
Pr{ N = 0 } = e^(-λx) * (λx)^0 / 0!
Simplificando, tenemos:
Pr{ T > x } = e^(-λx)
Por lo tanto, la densidad de probabilidades del tiempo hasta que se quema la ampolleta es:
f(x) = d/dx (Pr{ T > x }) = d/dx (e^(-λx)) = -λe^(-λx)
Esta es la densidad de una distribución exponencial con parámetro λ.
