Q1 : Si $\{a_n^2\}$ es convergente, $\{a_n\}$ es convergente
Se me pide que determine si esto es cierto y, a continuación, que lo demuestre o proporcione un contraejemplo.
Yo diría que, como declaración general, esto es falso . Mi primera reacción para este problema sería utilizar el teorema de convergencia monotónica.
Desde $a_n^2$ es positivo y siempre mayor que $a_n$ tendría que ser un límite superior, y el teorema sólo se cumpliría si $\{a_n\}$ está aumentando, pero no se nos da información sobre si $\{a_n\}$ está aumentando, por lo que la afirmación tendría que ser falsa.
La siguiente pregunta es:
Q2 : Si $\{a_n^2\}$ es convergente, y $a_n > 0$ entonces $\{a_n\}$ es convergente
Yo diría que esto también es falso. Sólo porque $a_n > 0$ no sabemos si sigue aumentando, ¿verdad?
