Una matriz de rango uno es el producto de dos vectores

Question

Sea $A$ ser un $n\times m$ matriz. Demostrar que $\operatorname{rank} (A) = 1$ si y sólo si existen vectores columna $v \in \mathbb{R}^n$ y $w \in \mathbb{R}^m$ tal que $A=vw^t$ .

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Progreso: Estoy yendo y viniendo entre el uso de las definiciones de rango: $\operatorname{rank} (A) = \dim(\operatorname{col}(A)) = \dim(\operatorname{row}(A))$ o utilizando el teorema del rango que dice $ \operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A) = m$ . Así que en el segundo caso tengo que demostrar que $\operatorname{nullity}(A)=m$ -1

Answer 1

Pistas:

$A=\mathbf v\mathbf w^T\implies\operatorname{rank}A=1$ debería ser bastante fácil de probar directamente. Multiplicar un vector en $\mathbb R^m$ por $A$ y mira lo que obtienes.

Para la otra dirección, piense en lo que $A$ a los vectores base de $\mathbb R^m$ y lo que esto significa sobre las columnas de $A$ .

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Solución

Supongamos que $A=\mathbf v\mathbf w^T$ . Si $\mathbf u\in\mathbb R^m$ entonces $A\mathbf u=\mathbf v\mathbf w^T\mathbf u=(\mathbf u\cdot\mathbf w)\mathbf v$ . Así, $A$ asigna cada vector en $\mathbb R^m$ a un múltiplo escalar de $\mathbf v$ Por lo tanto $\operatorname{rank}A=\dim\operatorname{im}A=1$ .

Ahora, supongamos $\operatorname{rank}A=1$ . Entonces para todos $\mathbf u\in\mathbb R^m$ , $A\mathbf u=k\mathbf v$ para un $\mathbf v\in\mathbb R^n$ . En particular, esto es cierto para los vectores base de $\mathbb R^m$ por lo que cada columna de $A$ es múltiplo de $\mathbf v$ . Es decir, $$ A=\pmatrix{w_1\mathbf v & w_2\mathbf v & \cdots & w_m\mathbf v}=\mathbf v\pmatrix{w_1&w_2&\cdots&w_m}=\mathbf v\mathbf w^T. $$

Answer 2

Supongamos que $A$ tiene rango uno. Entonces su imagen es unidimensional, por lo que hay algún no-cero $v$ que lo genera. Además, para cualquier otro $w$ podemos escribir $$Aw = \lambda(w)v$$

para algún escalar $\lambda(w)$ que depende linealmente de $w$ en virtud de $A$ siendo lineal y $v$ siendo una base de la imagen de $A$ . Esto define entonces un funcional no nulo $\mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R$ que debe darse tomando el producto punto por algún $w_0$ ; decir $\lambda(w) =\langle w_0,w\rangle$ . De ello se deduce que

$$ A(w) = \langle w_0,w\rangle v$$ para cada $w$ o, lo que es lo mismo, que $A= vw_0^t$ .

Answer 3

Tratar con la dirección más difícil - voy a dejar los detalles para que usted complete, ya que este es un ejercicio útil para pasar, en términos de familiarizarse con el uso de la notación de índice, y ganar práctica en el pensamiento en el nivel requerido de abstracción. pero puede haber una solución bastante intuitiva y directa a lo largo de las siguientes líneas:

supongamos que $n \ge 2$ . dejar $A$ ser un $n \times n$ que actúa sobre la $n-$ espacio vectorial dimensional $F^n$ .

primero puede demostrar que si $2\times 2$ menor de $A$ no se desvanece, entonces la imagen tiene dimensión al menos $2$ . permutando filas y columnas se puede ver que esto está implícito en el caso de $n=2$ que es sencillo.

segundo, sabiendo que todos $2\times 2$ menores de una matriz de rango 1 deben desaparecer, tienes la condición: $$ a_{ij}a_{kl}=a_{il}a_{kj} $$

supongamos en primer lugar que ninguna de las entradas de $A$ es cero. entonces no deberías tener problemas en derivar la conclusión deseada.

ahora tenemos que demostrar que el problema puede, en efecto, reducirse al caso ya tratado.

si $A \ne 0$ entonces tenemos un elemento, wlog $a_{11} \ne 0$ . ahora puede demostrar que si $a_{1j}=0$ que debemos tener $a_{kj}=0$ para todos $k$ .

lo mismo ocurre con las columnas si se invoca el hecho de que el rango de una matriz es igual al rango de su transpuesta.